En mecánica orbital (subcampo de mecánica celeste ), el método de Gauss se utiliza para la determinación preliminar de la órbita a partir de al menos tres observaciones (más observaciones aumentan la precisión de la órbita determinada) del cuerpo en órbita de interés en tres momentos diferentes. La información requerida son los tiempos de las observaciones, los vectores de posición de los puntos de observación (en Sistema de Coordenadas Ecuatoriales ), el vector coseno de dirección del cuerpo orbital desde los puntos de observación (del Sistema de Coordenadas Topocéntrico Ecuatorial) y datos físicos generales.
Carl Friedrich Gauss desarrolló importantes técnicas matemáticas (resumidas en los métodos de Gauss) que se utilizaron específicamente para determinar la órbita de Ceres . El método que se muestra a continuación es la determinación de la órbita de un cuerpo en órbita alrededor del cuerpo focal de donde se tomaron las observaciones, mientras que el método para determinar la órbita de Ceres requiere un poco más de esfuerzo porque las observaciones se tomaron desde la Tierra mientras Ceres orbita alrededor del Sol .
Vector de posición del observador
El vector de posición del observador (en el sistema de coordenadas ecuatorial ) de los puntos de observación se puede determinar a partir de la latitud y el tiempo sidéreo local (del sistema de coordenadas topocéntrico ) en la superficie del cuerpo focal del cuerpo en órbita (por ejemplo, la Tierra) a través de :
- o
- dónde,
- es el vector de posición del observador respectivo (en el sistema de coordenadas ecuatoriales)
- es el radio ecuatorial del cuerpo (por ejemplo, 6.378 km para la Tierra)
- es el achatamiento (o aplanamiento ) del cuerpo (por ejemplo, 0,003353 para la Tierra)
- es la latitud geodésica (el ángulo entre el plano normal y el plano ecuatorial)
- es la latitud geocéntrica (el ángulo entre el radio y el plano ecuatorial)
- es la altitud
- es la hora sideral local
Vector de coseno de dirección del cuerpo en órbita
El vector coseno de la dirección del cuerpo en órbita se puede determinar a partir de la ascensión recta y la declinación (del sistema de coordenadas ecuatoriales topocéntricas) del cuerpo en órbita desde los puntos de observación a través de:
- dónde,
- es el vector unitario respectivo en la dirección del vector de posición (desde el punto de observación hasta el cuerpo en órbita en el sistema de coordenadas ecuatoriales topocéntricas)
- es la declinación respectiva
- es la respectiva ascensión recta
Algoritmo
La derivación inicial comienza con la adición de vectores para determinar el vector de posición del cuerpo en órbita. Luego, con base en la conservación del momento angular y los principios de la órbita kepleriana (que establece que una órbita se encuentra en un plano bidimensional en un espacio tridimensional), se establece una combinación lineal de dichos vectores de posición. Además, se utiliza la relación entre la posición de un cuerpo y el vector de velocidad por coeficientes de Lagrange lo que da como resultado el uso de dichos coeficientes. Luego, con la manipulación de vectores y el álgebra, se derivaron las siguientes ecuaciones. Para obtener una derivación detallada, consulte Curtis. [1]
NOTA: El método de Gauss es una determinación preliminar de la órbita, con énfasis en la preliminar. La aproximación de los coeficientes de Lagrange y las limitaciones de las condiciones de observación requeridas (es decir, curvatura insignificante en el arco entre observaciones, consulte Gronchi [2] para más detalles) causa inexactitudes. Sin embargo, el método de Gauss se puede mejorar aumentando la precisión de los subcomponentes, como resolver la ecuación de Kepler . Otra forma de aumentar la precisión es mediante más observaciones.
Paso 1
Calcule los intervalos de tiempo, reste los tiempos entre observaciones:
- dónde
- es el intervalo de tiempo
- es el tiempo de observación respectivo
Paso 2
Calcule los productos cruzados, tome los productos cruzados de la dirección de la unidad de observación (el orden importa):
- dónde
- es el producto cruzado de vectores
- es el vector de producto cruzado respectivo
- es el vector unitario respectivo
Paso 3
Calcule la cantidad escalar común (producto triple escalar), tome el producto escalar del primer vector unitario de observación con el producto cruzado del segundo y tercer vector unitario de observación:
- dónde
- es el producto escalar de los vectores
- es el producto triple escalar común
- es el vector de producto cruzado respectivo
- es el vector unitario respectivo
Paso 4
Calcule nueve cantidades escalares (similar al paso 3):
- dónde
- son las respectivas cantidades escalares
- es el vector de posición del observador respectivo
- es el vector de producto cruzado respectivo
Paso 5
Calcule los coeficientes de posición escalar:
- dónde
- son coeficientes de posición escalar
- es la cantidad escalar común
- son las respectivas cantidades escalares
- es el intervalo de tiempo
- es el vector de posición del observador respectivo
- es el vector unitario respectivo
Paso 6
Calcule la distancia escalar al cuadrado de la segunda observación, tomando el producto escalar del vector de posición de la segunda observación:
- dónde
- es la distancia al cuadrado de la segunda observación
- es el vector de posición de la segunda observación
Paso 7
Calcule los coeficientes del polinomio de distancia escalar para la segunda observación del cuerpo en órbita:
- dónde
- son coeficientes del polinomio escalar de distancia para la segunda observación del cuerpo en órbita
- son coeficientes de posición escalar
- es el parámetro gravitacional del cuerpo focal del cuerpo en órbita
Paso 8
Encuentre la raíz del polinomio de distancia escalar para la segunda observación del cuerpo en órbita:
- dónde
- es la distancia escalar para la segunda observación del cuerpo en órbita (este y su vector, r 2 , están en el sistema de coordenadas ecuatoriales)
- son coeficientes como se indicó anteriormente
Se pueden usar varios métodos para encontrar la raíz, un método sugerido es el método de Newton-Raphson . La raíz debe ser físicamente posible (es decir, no negativa ni compleja) y si son adecuadas varias raíces, cada una debe evaluarse y compararse con cualquier dato disponible para confirmar su validez.
Paso 9
Calcule el rango de inclinación , la distancia desde el punto del observador al cuerpo en órbita en su momento respectivo:
- dónde
- es el rango inclinado respectivo (él y su vector,, están en el sistema de coordenadas ecuatoriales topocéntricas)
- es la cantidad escalar común
- son las respectivas cantidades escalares
- es el intervalo de tiempo
- es la distancia escalar para la segunda observación del cuerpo en órbita
- es el parámetro gravitacional del cuerpo focal del cuerpo en órbita
Paso 10
Calcule los vectores de posición del cuerpo en órbita, agregando el vector de posición del observador al vector de dirección de inclinación (que es la distancia de inclinación multiplicada por el vector de dirección de inclinación):
- dónde
- es el vector de posición del cuerpo en órbita respectivo (en el sistema de coordenadas ecuatoriales )
- es el vector de posición del observador respectivo
- es el rango inclinado respectivo
- es el vector unitario respectivo
Paso 11
Calcule los coeficientes de Lagrange:
- dónde,
- , , y son los coeficientes de Lagrange (estos son solo los dos primeros términos de la expresión de la serie basada en el supuesto de un intervalo de tiempo pequeño)
- es el parámetro gravitacional del cuerpo focal del cuerpo en órbita
- es la distancia escalar para la segunda observación del cuerpo en órbita
- es el intervalo de tiempo
Paso 12
Calcule el vector de velocidad para la segunda observación del cuerpo en órbita:
- dónde
- es el vector de velocidad para la segunda observación del cuerpo en órbita (en el sistema de coordenadas ecuatoriales )
- , , y son los coeficientes de Lagrange
- es el vector de posición del cuerpo en órbita respectivo
Paso 13
Los vectores de estado orbitales Se han encontrado ahora, la posición (r2) y vector de velocidad (v2) para la segunda observación del cuerpo en órbita. Con estos dos vectores se pueden encontrar los elementos orbitales y determinar la órbita.
Ver también
Referencias
- ^ Curtis, Howard D. Mecánica orbital para estudiantes de ingeniería . Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005. Impresión.
- ^ Gronchi, Giovanni F .. "Determinación de la órbita clásica y moderna de los asteroides". Actas de la Unión Astronómica Internacional 2004.IAUC196 (2004): 1-11. Impresión.
- Der, Gim J .. "Nuevos algoritmos de sólo ángulos para la determinación inicial de la órbita". Conferencia de Tecnologías Avanzadas de Vigilancia Espacial y Óptica de Maui. (2012). Impresión.