En la geometría riemanniana y la geometría pseudo-riemanniana , las ecuaciones de Gauss-Codazzi (también llamadas ecuaciones de Gauss-Codazzi-Mainardi o fórmulas de Gauss-Peterson-Codazzi [1] ) son fórmulas fundamentales que vinculan la métrica inducida y la segunda forma fundamental de un subvarietal de (o inmersión en) una variedad riemanniana o pseudo-riemanniana .
Las ecuaciones se descubrieron originalmente en el contexto de superficies en el espacio euclidiano tridimensional . En este contexto, la primera ecuación, a menudo llamada ecuación de Gauss (en honor a su descubridor Carl Friedrich Gauss ), dice que la curvatura de Gauss de la superficie, en cualquier punto dado, está dictada por las derivadas del mapa de Gauss en ese punto, como codificado por la segunda forma fundamental . [2] La segunda ecuación, llamada ecuación de Codazzi o ecuación de Codazzi-Mainardi , establece que la derivada covariante de la segunda forma fundamental es completamente simétrica. Lleva el nombre de Gaspare Mainardi(1856) y Delfino Codazzi (1868-1869), quienes obtuvieron el resultado de forma independiente, [3] aunque fue descubierto antes por Karl Mikhailovich Peterson . [4] [5]
Declaración formal
Dejar ser una subvariedad incrustada n- dimensional de una variedad Riemanniana P de dimensión. Hay una inclusión natural del paquete de la tangente de M en la de P por el pushforward , y la conúcleo es el fibrado normal de M :
La métrica divide esta breve secuencia exacta , por lo que
En relación con esta división, la conexión Levi-Civita de P se descompone en componentes tangenciales y normales. Para caday el campo vectorial Y en M ,
Dejar
La fórmula de Gauss [6] [ aclaración necesaria ] ahora afirma quees la conexión Levi-Civita para M , yes una forma simétrica con valores vectoriales con valores en el paquete normal. A menudo se le conoce como la segunda forma fundamental .
Un corolario inmediato es la ecuación de Gauss . Para,
dónde es el tensor de curvatura de Riemann de P y R es la de M .
La ecuación de Weingarten es análoga a la fórmula de Gauss para una conexión en el paquete normal. Dejar y un campo vectorial normal. Luego descomponga la derivada covariante ambiental dea lo largo de X en componentes tangenciales y normales:
Luego
- Ecuación de Weingarten :
- D X es una conexión métrica en el paquete normal.
Por tanto, hay un par de conexiones: ∇, definida en el haz tangente de M ; y D , definido en el paquete normal de M . Estos se combinan para formar una conexión en cualquier producto tensor de copias de T M y T ⊥ M . En particular, definieron la derivada covariante de:
La ecuación de Codazzi-Mainardi es
Dado que cada inmersión es, en particular, una incrustación local, las fórmulas anteriores también son válidas para inmersiones.
Ecuaciones de Gauss-Codazzi en geometría diferencial clásica
Declaración de ecuaciones clásicas
En la geometría diferencial clásica de superficies, las ecuaciones de Codazzi-Mainardi se expresan mediante la segunda forma fundamental ( L , M , N ):
La fórmula de Gauss, dependiendo de cómo se elija definir la curvatura gaussiana, puede ser una tautología . Puede declararse como
donde ( e , f , g ) son los componentes de la primera forma fundamental.
Derivación de ecuaciones clásicas
Considere una superficie paramétrica en el espacio tridimensional euclidiano,
donde las tres funciones componentes dependen suavemente de pares ordenados ( u , v ) en algún dominio abierto U en el plano uv . Suponga que esta superficie es regular , lo que significa que los vectores r u y r v son linealmente independientes . Complete esto hasta una base { r u , r v , n }, seleccionando un vector unitario n normal a la superficie. Es posible expresar las segundas derivadas parciales de r usando los símbolos de Christoffel y la segunda forma fundamental.
El teorema de Clairaut establece que las derivadas parciales conmutan:
Si diferenciamos r uu con respecto av y r uv con respecto a u , obtenemos:
Ahora sustituya las expresiones anteriores por las segundas derivadas e iguale los coeficientes de n :
Al reordenar esta ecuación se obtiene la primera ecuación de Codazzi-Mainardi.
La segunda ecuación se puede derivar de manera similar.
Curvatura media
Deje que M sea un suave m colector -dimensional inmerso en la ( m + k ) -dimensional suavizar colector P . Dejarser un marco ortonormal local de los campos de vectores normales a M . Entonces podemos escribir
Si ahora es un marco ortonormal local (de campos vectoriales tangentes) en el mismo subconjunto abierto de M , entonces podemos definir las curvaturas medias de la inmersión por
En particular, si M es una hipersuperficie de P , es decir, entonces solo hay una curvatura media de la que hablar. La inmersión se llama mínima si todos los son idénticamente cero.
Observe que la curvatura media es un trazo, o promedio, de la segunda forma fundamental, para cualquier componente dado. A veces, la curvatura media se define multiplicando la suma del lado derecho por.
Ahora podemos escribir las ecuaciones de Gauss-Codazzi como
Contratando el componentes nos da
Observe que el tensor entre paréntesis es simétrico y no negativo-definido en . Suponiendo que M es una hipersuperficie, esto se simplifica a
dónde y y . En ese caso, una contracción más produce,
dónde y son las respectivas curvaturas escalares, y
Si , la ecuación de curvatura escalar podría ser más complicada.
Ya podemos usar estas ecuaciones para sacar algunas conclusiones. Por ejemplo, cualquier inmersión mínima [7] en la esfera redonda debe ser de la forma
dónde va de 1 a y
es el laplaciano en M , y es una constante positiva.
Ver también
Notas
- ↑ Toponogov (2006)
- ^ Esta ecuación es la base del teorema egregium de Gauss. Gauss 1828 .
- ^ ( Kline 1972 , p. 885).
- ↑ Peterson (1853)
- ↑ Ivanov 2001 .
- ^ Terminología de Spivak, volumen III.
- ↑ Takahashi, 1966
Referencias
Referencias históricas
- Bonnet, Ossian (1867), "Memoire sur la theorie des Surface Aplicables sur une surface donnee", Journal de l'École Polytechnique , 25 : 31-151
- Codazzi, Delfino (1868–1869), "Coordenada sur curvilínea de una superficie dello spazio", Ann. Estera. Pura Appl. , 2 : 101-19
- Gauss, Carl Friedrich (1828), "Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas" [Discusiones generales sobre superficies curvas], Comm. Soc. Gott. (en latín), 6 ("Discusiones generales sobre superficies curvas")
- Ivanov, AB (2001) [1994], "Ecuaciones de Peterson-Codazzi" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Kline, Morris (1972), Pensamiento matemático desde tiempos antiguos a tiempos modernos , Oxford University Press , ISBN 0-19-506137-3
- Mainardi, Gaspare (1856), "Su la teoria generale delle superficie", Giornale dell 'Istituto Lombardo , 9 : 385–404
- Peterson, Karl Mikhailovich (1853), Über die Biegung der Flächen , tesis doctoral, Universidad de Dorpat.
Libros de texto
- do Carmo, Manfredo P. Geometría diferencial de curvas y superficies. Segunda edición revisada y actualizada. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2016. xvi + 510 págs. ISBN 978-0-486-80699-0 , 0-486-80699-5
- do Carmo, Manfredo Perdigão. Geometría riemanniana. Traducido de la segunda edición portuguesa de Francis Flaherty. Matemáticas: teoría y aplicaciones. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv + 300 págs. ISBN 0-8176-3490-8
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi. Fundamentos de la geometría diferencial. Vol. II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Editores de Interscience John Wiley & Sons, Inc., Nueva York-Londres-Sydney 1969 xv + 470 págs.
- O'Neill, Barrett. Geometría semi-riemanniana. Con aplicaciones a la relatividad. Matemáticas puras y aplicadas, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Nueva York, 1983. xiii + 468 págs. ISBN 0-12-526740-1
- VA Toponogov. Geometría diferencial de curvas y superficies. Una guía concisa . Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. xiv + 206 págs. ISBN 978-0-8176-4384-3 ; ISBN 0-8176-4384-2 .
Artículos
- Takahashi, Tsunero (1966), "Inmersiones mínimas de variedades de Riemann", Revista de la Sociedad Matemática de Japón
- Simons, James. Variedades mínimas en variedades riemannianas. Ana. de Matemáticas. (2) 88 (1968), 62-105.
enlaces externos
- Ecuaciones de Peterson – Mainardi – Codazzi - de Wolfram MathWorld
- Ecuaciones de Peterson-Codazzi