En matemáticas , la simetría de las segundas derivadas (también llamada igualdad de parciales mixtos ) se refiere a la posibilidad bajo ciertas condiciones (ver más abajo) de intercambiar el orden de tomar derivadas parciales de una función.
de n variables. La simetría es la afirmación de que las derivadas parciales de segundo orden satisfacen la identidad
de modo que formen una matriz simétrica n × n , conocida como matriz hessiana de la función . Esto a veces se conoce como el teorema de Schwarz , el teorema de Clairaut , o el teorema de Young . [1] [2]
En el contexto de las ecuaciones diferenciales parciales se denomina condición de integrabilidad de Schwarz .
Expresiones formales de simetría
En símbolos, la simetría se puede expresar como:
Otra notación es:
En términos de composición del operador diferencial D i que toma la derivada parcial con respecto ax i :
- .
De esta relación se deduce que el anillo de operadores diferenciales con coeficientes constantes , generado por D i , es conmutativo ; pero esto solo es cierto como operadores sobre un dominio de funciones suficientemente diferenciables. Es fácil comprobar la simetría aplicada a los monomios , de modo que se puedan tomar polinomios en x i como dominio. De hecho, las funciones suaves son otro dominio válido.
Historia
El resultado de la igualdad de derivadas parciales mixtas en determinadas condiciones tiene una larga historia. La lista de pruebas propuestas infructuosas comenzó con la de Euler , publicada en 1740, aunque ya en 1721 Bernoulli había asumido implícitamente el resultado sin justificación formal. [3] [4] Clairaut también publicó una prueba propuesta en 1740, sin otros intentos hasta finales del siglo XVIII. A partir de entonces, por un período de 70 años, se propusieron una serie de pruebas incompletas. La prueba de Lagrange (1797) fue mejorada por Cauchy (1823), pero asumió la existencia y continuidad de las derivadas parciales. y . [5] P. Blanchet (1841), Duhamel (1856), Sturm (1857), Schlömilch (1862) y Bertrand (1864) hicieron otros intentos . Finalmente, en 1867, Lindelöf analizó sistemáticamente todas las pruebas defectuosas anteriores y pudo exhibir un contraejemplo específico en el que los derivados mixtos no lograron ser iguales. [6] [7]
Seis años después de eso, Schwarz logró dar la primera prueba rigurosa. [8] Dini contribuyó más tarde al encontrar condiciones más generales que las de Schwarz. Finalmente, Jordan encontró una versión limpia y más general en 1883 que sigue siendo la prueba que se encuentra en la mayoría de los libros de texto. Laurent (1885), Peano (1889 y 1893), J. Edwards (1892), P. Haag (1893), JK Whittemore (1898), Vivanti (1899) y Pierpont (1905) publicaron variantes menores de pruebas anteriores . En 1907-1909 se hicieron más progresos cuando EW Hobson y WH Young encontraron pruebas con condiciones más débiles que las de Schwarz y Dini. En 1918, Carathéodory dio una prueba diferente basada en la integral de Lebesgue . [7]
Teorema de Schwarz
En análisis matemático , el teorema de Schwarz (o el teorema de Clairaut sobre la igualdad de parciales mixtos ) [9] llamado así por Alexis Clairaut y Hermann Schwarz , establece que para una función definido en un set , Si es un punto tal que algún barrio de está contenido en y tiene segundas derivadas parciales continuas en el punto, luego
Las derivadas parciales de esta función conmutan en ese punto.
Una forma sencilla de establecer este teorema (en el caso en que , , y , que implica fácilmente el resultado en general) es aplicando el teorema de Green al gradiente de
Una demostración elemental de funciones en subconjuntos abiertos del plano es la siguiente (mediante una simple reducción, el caso general del teorema de Schwarz se reduce claramente al caso plano). [10] Deja ser una función diferenciable en un rectángulo abierto que contiene y supongamos que es continuo con y ambos continuos. Definir
Estas funciones se definen para , dónde y .
Por el teorema del valor medio , los valores intermedios puede encontrarse en con
Desde , la primera igualdad a continuación se puede dividir por :
Dejando tienden a cero en la última igualdad, los supuestos de continuidad en y ahora implica que
Este relato es un método clásico sencillo que se encuentra en muchos libros de texto, por ejemplo en Burkill, Apostol y Rudin. [11] [12]
Aunque la derivación anterior es elemental, el enfoque también puede verse desde una perspectiva más conceptual para que el resultado sea más evidente. [13] [14] [15] [16] [17] De hecho, los operadores de diferencia viajar y tiende a como tiende a 0, con una declaración similar para los operadores de segundo orden. [18] Aquí, para un vector en el avión y un vector direccional, el operador de diferencia se define por
Por el teorema fundamental del cálculo para funciones en un intervalo abierto con
Por eso
- .
Ésta es una versión generalizada del teorema del valor medio . Recuerde que la discusión elemental sobre máximos o mínimos para funciones con valores reales implica que si es continuo en y diferenciable en , entonces hay un punto en tal que
Para funciones con valores vectoriales con un espacio normado de dimensión finita, no hay análogo de la igualdad anterior, de hecho falla. Pero desde, la desigualdad anterior es un sustituto útil. Además, el uso del emparejamiento del dual de con su norma dual, produce la siguiente igualdad:
- .
Estas versiones del teorema del valor medio se discuten en Rudin, Hörmander y en otros lugares. [19] [12]
Para a funcionar en un conjunto abierto en el plano, definir y . Además para colocar
- .
Entonces para en el conjunto abierto, el teorema del valor medio generalizado se puede aplicar dos veces:
Por lo tanto tiende a como tiende a 0. El mismo argumento muestra que tiende a . Por lo tanto, dado que los operadores de diferencia conmutan, también lo hacen los operadores de diferencial parcial y , como se afirma. [20] [21] [22] [23] [24]
Observación. Mediante dos aplicaciones del teorema clásico del valor medio,
para algunos y en . Por tanto, la primera demostración elemental se puede reinterpretar utilizando operadores de diferencia. Por el contrario, en lugar de utilizar el teorema del valor medio generalizado en la segunda demostración, se podría utilizar el teorema clásico del valor medio.
Prueba del teorema de Clairaut usando integrales iteradas
Las propiedades de las integrales de Riemann repetidas de una función continua F en un rectángulo compacto [ a , b ] × [ c , d ] se establecen fácilmente. [25] La continuidad uniforme de F implica inmediatamente que las funciones y son continuos. [26] De ello se deduce que
- ;
además, es inmediato que la integral iterada sea positiva si F es positiva. [27] La igualdad anterior es un caso simple del teorema de Fubini , que no involucra la teoría de la medida . Titchmarsh (1939) lo demuestra de una manera sencilla usando Riemann aproximando sumas correspondientes a subdivisiones de un rectángulo en rectángulos más pequeños.
Para probar el teorema de Clairaut, suponga que f es una función diferenciable en un conjunto abierto U , para el cual las segundas derivadas parciales mixtas f yx y f xy existen y son continuas. Usando el teorema fundamental del cálculo dos veces,
similar
Por tanto, las dos integrales iteradas son iguales. Por otro lado, dado que f xy ( x , y ) es continua, la segunda integral iterada se puede realizar integrando primero sobre x y luego sobre y . Pero entonces la integral iterada de f yx - f xy en [ a , b ] × [ c , d ] debe desaparecer. Sin embargo, si la integral iterada de una función de función continua F desaparece para todos los rectángulos, entonces F debe ser idénticamente cero; porque de lo contrario F o - F sería estrictamente positivo en algún punto y por lo tanto por continuidad en un rectángulo, lo cual no es posible. Por tanto, f yx - f xy debe desaparecer de forma idéntica, de modo que f yx = f xy en todas partes. [28] [29] [30] [31] [32]
Suficiencia de doble diferenciabilidad
Una condición más débil que la continuidad de las segundas derivadas parciales (que está implícita en la última) que es suficiente para asegurar la simetría es que todas las derivadas parciales son en sí mismas diferenciables . [33] Otro fortalecimiento del teorema, en el que se afirma la existencia del parcial mixto permutado, fue proporcionado por Peano en una breve nota de 1890 sobre Mathesis :
- Si se define en un conjunto abierto ; y existir en todas partes en ; es continuo en , y si existe en un barrio de , luego existe en y . [34]
Formulación de la teoría de la distribución
La teoría de distribuciones (funciones generalizadas) elimina los problemas analíticos con la simetría. La derivada de una función integrable siempre se puede definir como una distribución, y la simetría de derivadas parciales mixtas siempre se cumple como una igualdad de distribuciones. El uso de la integración formal por partes para definir la diferenciación de distribuciones devuelve la cuestión de la simetría a las funciones de prueba , que son suaves y ciertamente satisfacen esta simetría. Más detalladamente (donde f es una distribución, escrita como un operador en funciones de prueba, y φ es una función de prueba),
Otro enfoque, que define la transformada de Fourier de una función, es notar que en tales transformadas las derivadas parciales se convierten en operadores de multiplicación que conmutan mucho más obviamente. [18]
Requisito de continuidad
La simetría puede romperse si la función no tiene derivadas parciales diferenciables, lo cual es posible si no se satisface el teorema de Clairaut (las segundas derivadas parciales no son continuas ).
Un ejemplo de no simetría es la función (debido a Peano ) [35] [36]
( 1 )
Esto se puede visualizar mediante la forma polar. ; es continuo en todas partes, pero sus derivadas en (0, 0) no se pueden calcular algebraicamente. Más bien, el límite de los cocientes de diferencias muestra que, entonces el gráfico tiene un plano tangente horizontal en (0, 0) , y las derivadas parcialesexisten y son continuos en todas partes. Sin embargo, las segundas derivadas parciales no son continuas en (0, 0) y la simetría falla. De hecho, a lo largo del eje x, la derivada y es, y entonces:
Por el contrario, a lo largo del eje y, la derivada x, y entonces . Es decir,en (0, 0) , aunque existen las derivadas parciales mixtas, y en todos los demás puntos se mantiene la simetría.
La función anterior, escrita en un sistema de coordenadas cilíndrico, se puede expresar como
mostrando que la función oscila cuatro veces cuando viaja una vez alrededor de un bucle arbitrariamente pequeño que contiene el origen. Intuitivamente, por lo tanto, el comportamiento local de la función en (0, 0) no puede describirse como una forma cuadrática y, por lo tanto, la matriz de Hesse no es simétrica.
En general, el intercambio de operaciones de limitación no necesita conmutar . Dadas dos variables cerca de (0, 0) y dos procesos limitantes en
correspondiente a hacer h → 0 primero, y hacer k → 0 primero. Puede importar, mirando los términos de primer orden, que se aplica primero. Esto conduce a la construcción de ejemplos patológicos en los que las segundas derivadas no son simétricas. Este tipo de ejemplo pertenece a la teoría del análisis real donde importa el valor puntual de las funciones. Cuando se ve como una distribución, los valores de la segunda derivada parcial se pueden cambiar en un conjunto arbitrario de puntos siempre que tenga la medida de Lebesgue 0. Dado que en el ejemplo el hessiano es simétrico en todas partes excepto (0, 0) , no hay contradicción con hecho de que el hessiano, visto como una distribución de Schwartz , es simétrico.
En la teoría de la mentira
Considere que los operadores diferenciales de primer orden D i son operadores infinitesimales en el espacio euclidiano . Es decir, D i en cierto sentido genera el grupo de traslaciones de un parámetro paralelo al eje x i . Estos grupos se conmutan entre sí y, por tanto, los generadores infinitesimales también lo hacen; el soporte de Lie
- [ D i , D j ] = 0
es el reflejo de esta propiedad. En otras palabras, la derivada de Lie de una coordenada con respecto a otra es cero.
Aplicación a formas diferenciales
El teorema de Clairaut-Schwarz es el hecho clave necesario para demostrar que para cada (o al menos dos veces diferenciable) forma diferencial , la segunda derivada exterior desaparece: . Esto implica que toda forma exacta diferenciable (es decir, una forma tal que de alguna forma ) está cerrado (es decir,), desde . [37]
A mediados del siglo XVIII, la teoría de las formas diferenciales se estudió por primera vez en el caso más simple de formas 1 en el plano, es decir , dónde y son funciones en el plano. El estudio de las formas 1 y los diferenciales de funciones comenzó con los artículos de Clairaut en 1739 y 1740. En esa etapa, sus investigaciones se interpretaron como formas de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias . Formalmente, Clairaut demostró que una forma 1 en un rectángulo abierto está cerrado, es decir , si y solo tiene la forma para alguna función en el disco. La solucion para puede escribirse mediante la fórmula integral de Cauchy
mientras que si , la propiedad cerrada es la identidad . (En lenguaje moderno, esta es una versión del lema de Poincaré ). [38]
Notas
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- ↑ Hörmander , 2015 , p. 6
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Otras lecturas
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