La función o curva logística generalizada , también conocida como curva de Richards , desarrollada originalmente para el modelado de crecimiento, es una extensión de las funciones logísticas o sigmoideas , lo que permite curvas en forma de S más flexibles:
dónde = peso, altura, talla, etc., y = tiempo.
Tiene cinco parámetros:
- : la asíntota inferior;
- : la asíntota superior cuando . Si y luego se llama capacidad de carga ;
- : la tasa de crecimiento;
- : afecta cerca de la cual se produce el crecimiento máximo de asíntota.
- : está relacionado con el valor
- : normalmente toma un valor de 1. De lo contrario, la asíntota superior es
La ecuación también se puede escribir:
dónde se puede considerar como una hora de inicio, (en el cual )
Incluyendo ambos y puede ser conveniente:
esta representación simplifica el establecimiento de una hora de inicio y el valor de Y en ese momento.
El modelo general a veces se denomina "curva de Richards" en honor a FJ Richards, quien propuso la forma general para la familia de modelos en 1959.
La logística , con máxima tasa de crecimiento en el momento, es el caso donde .
Ecuación diferencial logística generalizada
Un caso particular de la función logística generalizada es:
que es la solución de la ecuación diferencial de Richards (RDE):
con condición inicial
dónde
siempre que ν> 0 y α> 0.
La ecuación diferencial logística clásica es un caso particular de la ecuación anterior, con ν = 1, mientras que la curva de Gompertz se puede recuperar en el límite siempre que:
De hecho, para ν pequeño es
El RDE modela muchos fenómenos de crecimiento, que surgen en campos como la oncología y la epidemiología.
Gradiente de función logística generalizada
Al estimar parámetros a partir de datos, a menudo es necesario calcular las derivadas parciales de la función logística con respecto a los parámetros en un punto de datos dado. (ver [1] ). Para el caso donde,
Modelado de la trayectoria de la infección por COVID-19
Una función logística generalizada , también llamada curva de crecimiento de Richards, se usa ampliamente para modelar las trayectorias de infección por COVID-19 . [2] La trayectoria de la infección son datos de series de tiempo diarias para el número acumulado de casos infectados para un sujeto, como país, ciudad, estado, etc. Hay re-parametrizaciones variantes en la literatura: una de las formas más utilizadas es
dónde son números reales, y es un número real positivo. La flexibilidad de la curva se debe al parámetro : (i) si entonces la curva se reduce a la función logística, y (ii) si converge a cero, entonces la curva converge a la función de Gompertz . En modelización epidemiológica,, , y representan el tamaño final de la epidemia, la tasa de infección y la fase de retraso, respectivamente. Consulte el panel de la derecha para ver una trayectoria de infección ejemplar cuando son designados por .
Uno de los beneficios de utilizar la función de crecimiento como la función logística generalizada en el modelado epidemiológico es su expansión relativamente fácil al marco del modelo multinivel mediante el uso de la función de crecimiento para describir las trayectorias de infección de múltiples sujetos (países, ciudades, estados, etc.). Vea la figura anterior. Dicho marco de modelado también se puede denominar ampliamente modelo de efectos mixtos no lineal o modelo no lineal jerárquico.
Casos especiales
Las siguientes funciones son casos específicos de curvas de Richards:
- Función logística
- Curva de Gompertz
- Función de Von Bertalanffy
- Curva monomolecular
Notas al pie
- ^ Fekedulegn, Desta; Mairitin P. Mac Siurtain; Jim J. Colbert (1999). "Estimación de parámetros de modelos de crecimiento no lineal en la silvicultura" (PDF) . Silva Fennica . 33 (4): 327–336. Archivado desde el original (PDF) el 29 de septiembre de 2011 . Consultado el 31 de mayo de 2011 .
- ^ Lee, Se Yoon; Lei, Bowen; Mallick, Bani (2020). "Estimación de curvas de propagación COVID-19 integrando datos globales e información de préstamo" . PLOS ONE . 15 (7): e0236860. arXiv : 2005.00662 . Código Bibliográfico : 2020PLoSO..1536860L . doi : 10.1371 / journal.pone.0236860 . PMC 7390340 . PMID 32726361 .
Referencias
- Richards, FJ (1959). "Una función de crecimiento flexible para uso empírico". Revista de botánica experimental . 10 (2): 290–300. doi : 10.1093 / jxb / 10.2.290 .
- Pella, JS; Tomlinson, PK (1969). "Un modelo generalizado de producción de existencias". Toro. Inter-Am. Trop. Tuna Comm . 13 : 421–496.
- Lei, YC; Zhang, SY (2004). "Características y derivados parciales del modelo de crecimiento de Bertalanffy-Richards en silvicultura". Análisis no lineal: modelado y control . 9 (1): 65–73.