Función sigmoidea

Función matemática que tiene una curva característica en forma de "S" o una curva sigmoidea

La curva logística

Gráfico de la función de error

Una función sigmoidea es una función matemática que tiene una curva característica en forma de "S" o curva sigmoidea . Un ejemplo común de función sigmoidea es la función logística que se muestra en la primera figura y se define mediante la fórmula: ^[1]

${\displaystyle S(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}=1-S(-x).}$

Otras funciones sigmoideas estándar se dan en la sección de Ejemplos .

Los casos especiales de la función sigmoidea incluyen la curva de Gompertz (utilizada en sistemas de modelado que saturan a valores grandes de x) y la curva conopial (utilizada en el aliviadero de algunas presas ). Las funciones sigmoideas tienen el dominio de todos los números reales , y el valor de retorno (respuesta) suele aumentar de forma monótona pero podría estar disminuyendo. Las funciones sigmoideas suelen mostrar un valor de retorno (eje y) en el rango de 0 a 1. Otro rango de uso común es de -1 a 1.

Se ha utilizado una amplia variedad de funciones sigmoides, incluidas las funciones logísticas e hiperbólicas tangentes , como función de activación de neuronas artificiales . Las curvas sigmoides también son comunes en estadística como funciones de distribución acumulativa (que van de 0 a 1), como las integrales de la densidad logística , la densidad normal y las funciones de densidad de probabilidad t de Student . La función sigmoidea logística es invertible y su inversa es la función logit .

Definición

Una función sigmoidea es una delimitada , diferenciable función real, que se define para todos los valores de entrada real y tiene un derivado no negativo en cada punto ^[1] y exactamente un punto de inflexión . Una "función" sigmoidea y una "curva" sigmoidea se refieren al mismo objeto.

Propiedades

En general, una función sigmoidea es monótona y tiene una primera derivada que tiene forma de campana . Por el contrario, la integral de cualquier función continua, no negativa, en forma de campana (con un máximo local y ningún mínimo local, a menos que esté degenerada) será sigmoidea. Por tanto, las funciones de distribución acumulativa para muchas distribuciones de probabilidad comunes son sigmoideas. Un ejemplo de ello es la función de error , que está relacionada con la función de distribución acumulativa de una distribución normal .

Una función sigmoidea está limitada por un par de asíntotas horizontales como .${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$

Una función sigmoidea es convexa para valores inferiores a 0 y cóncava para valores superiores a 0.

La región activa de un sigmoide varía de -5 a 5.

Ejemplos

Comparación de algunas funciones sigmoideas. En el dibujo, todas las funciones están normalizadas de tal manera que su pendiente en el origen es 1.

• Función logística

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$

• Tangente hiperbólica (versión desplazada y escalada de la función logística, arriba)

${\displaystyle f(x)=\tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}$

• Función arcangente

${\displaystyle f(x)=\arctan x}$

• Función de Gudermann

${\displaystyle f(x)=\operatorname {gd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\cosh t}}\,dt=2\arctan \left(\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)\right)}$

• Función de error

${\displaystyle f(x)=\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}$

• Función logística generalizada

${\displaystyle f(x)=(1+e^{-x})^{-\alpha },\quad \alpha >0}$

• Función de paso suave

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\left(\int _{0}^{1}\left(1-u^{2}\right)^{N}\ du\right)^{-1}\int _{0}^{x}(1-u^{2})^{N}\ du},&|x|\leq 1\\\\\operatorname {sgn}(x)&|x|\geq 1\\\end{cases}}\,\quad N\geq 1}$

• Algunas funciones algebraicas , por ejemplo

${\displaystyle f(x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{n}}{x^{n}+\left(1-x\right)^{n}}}}$ varía de 0 a 1, donde ${\displaystyle f'(0.5)=n}$

Aplicaciones

Curva S logística invertida para modelar la relación entre el rendimiento de trigo y la salinidad del suelo. ^[2]

Muchos procesos naturales, como los de las curvas de aprendizaje de sistemas complejos , exhiben una progresión desde pequeños comienzos que se acelera y se acerca a un clímax con el tiempo. Cuando falta un modelo matemático específico, a menudo se usa una función sigmoidea. ^[3]

El modelo de van Genuchten-Gupta se basa en una curva en S invertida y se aplica a la respuesta del rendimiento del cultivo a la salinidad del suelo .

En la función logística se muestran ejemplos de la aplicación de la curva S logística a la respuesta del rendimiento del cultivo (trigo) tanto a la salinidad del suelo como a la profundidad del nivel freático en el suelo . # En agricultura: modelado de la respuesta del cultivo .

En las redes neuronales artificiales , a veces se utilizan funciones no uniformes para mejorar la eficiencia; estos se conocen como sigmoides duros .

En el procesamiento de señales de audio , las funciones sigmoideas se utilizan como funciones de transferencia de formadores de ondas para emular el sonido del recorte de circuitos analógicos . ^[4]

En bioquímica y farmacología , la ecuación de Hill y la ecuación de Hill-Langmuir son funciones sigmoides.

En gráficos por computadora y renderizado en tiempo real, algunas de las funciones sigmoides se utilizan para mezclar colores o geometría entre dos valores, de manera uniforme y sin costuras o discontinuidades visibles.

Las curvas de titulación entre ácidos fuertes y bases fuertes tienen una forma sigmoidea debido a la naturaleza logarítmica de la escala de pH .

Ver también

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con las funciones sigmoideas .

• Función escalón Heaviside
• Regresión logística
• Logit
• Función Softplus
• Tangente hiperbólica modificada de Soboleva
• Función Softmax
• Función swish
• Distribución de Weibull
• Estadísticas de Fermi – Dirac

Referencias

1. Han, junio; Morag, Claudio (1995). "La influencia de los parámetros de la función sigmoidea en la velocidad de aprendizaje de retropropagación" . En Mira, José; Sandoval, Francisco (eds.). De la computación neuronal natural a la artificial . Apuntes de conferencias en informática. 930 . págs.  195–201 . doi : 10.1007 / 3-540-59497-3_175 . ISBN 978-3-540-59497-0.
2. Software para ajustar una curva en S a un conjunto de datos [1]
3. Gibbs, MN (noviembre de 2000). "Clasificadores de procesos Gaussianos Variacionales" . Transacciones IEEE en redes neuronales . 11 (6): 1458–1464. doi : 10.1109 / 72.883477 . PMID 18249869 . S2CID 14456885 .  
4. Smith, Julius O. (2010). Procesamiento físico de señales de audio (2010 ed.). Publicación W3K. ISBN 978-0-9745607-2-4. Consultado el 28 de marzo de 2020 .

• Mitchell, Tom M. (1997). Aprendizaje automático . WCB – McGraw – Hill. ISBN 978-0-07-042807-2.. En particular, consulte el "Capítulo 4: Redes neuronales artificiales" (en particular, págs. 96-97) donde Mitchell usa la palabra "función logística" y la "función sigmoidea" como sinónimos - esta función también la llama la "función de aplastamiento" - y la La función sigmoidea (también conocida como logística) se utiliza para comprimir las salidas de las "neuronas" en redes neuronales multicapa.
• Humphrys, Mark. "Salida continua, la función sigmoidea" . Propiedades del sigmoide, incluido cómo puede desplazarse a lo largo de los ejes y cómo se puede transformar su dominio.