Un círculo generalizado , también conocido como "cline" o "circline", es una línea recta o un círculo . El concepto se utiliza principalmente en geometría inversa , porque las líneas rectas y los círculos tienen propiedades muy similares en esa geometría y es mejor tratarlos juntos.
La geometría del plano inverso se formula en el plano extendido por un punto en el infinito . Entonces se piensa en una línea recta como uno de los círculos que pasa por el punto asintótico en el infinito. Las transformaciones fundamentales en geometría inversa, las inversiones , tienen la propiedad de que mapean círculos generalizados a círculos generalizados. Las transformaciones de Möbius , que son composiciones de inversiones, heredan esa propiedad. Estas transformaciones no necesariamente asignan líneas a líneas y círculos a círculos: pueden mezclar los dos.
Las inversiones son de dos tipos: inversiones en círculos y reflejos en líneas. Dado que los dos tienen propiedades muy similares, los combinamos y hablamos de inversiones en círculos generalizados.
Dados cualesquiera tres puntos distintos en el plano extendido, existe precisamente un círculo generalizado que pasa por los tres puntos.
El plano extendido se puede identificar con la esfera mediante una proyección estereográfica . El punto en el infinito se convierte entonces en un punto ordinario de la esfera y todos los círculos generalizados se convierten en círculos en la esfera.
Ecuación en el plano complejo extendido
El plano extendido de geometría inversa se puede identificar con el plano complejo extendido , de modo que las ecuaciones de números complejos se pueden utilizar para describir líneas, círculos e inversiones.
Un círculo Γ es el conjunto de puntos z en un plano que se encuentran en un radio r desde un punto central γ .
Usando el plano complejo , podemos tratar γ como un número complejo y el círculo Γ como un conjunto de números complejos.
Usando la propiedad de que un número complejo multiplicado por su conjugado nos da el cuadrado del módulo del número, y que su módulo es su distancia euclidiana del origen, podemos expresar la ecuación para Γ de la siguiente manera:
Podemos multiplicar esto por una constante real A para obtener una ecuación de la forma
donde A y D son reales , y B y C son conjugados complejos . Invirtiendo los pasos, vemos que para que esto sea un círculo, el radio al cuadrado debe ser igual a BC / A 2 - D / A > 0. Entonces, la ecuación anterior define un círculo generalizado siempre que AD
La transformación w = 1 / z
Ahora es fácil ver que la transformación w = 1 / z mapea círculos generalizados a círculos generalizados:
Vemos que las líneas que pasan por el origen ( A = D = 0) se asignan a las líneas que pasan por el origen, las líneas que no pasan por el origen ( A = 0; D ≠ 0) a los círculos que pasan por el origen, los círculos que pasan por el origen ( A ≠ 0; D = 0) a las líneas que no pasan por el origen, y los círculos que no pasan por el origen ( A ≠ 0; D ≠ 0) a los círculos que no pasan por el origen.
Representación por matrices hermitianas
Los datos que definen la ecuación de un círculo generalizado
se puede poner de manera útil en forma de una matriz hermitiana invertible
Dos de estas matrices hermitianas invertibles especifican el mismo círculo generalizado si y solo si difieren en un múltiplo real.
Transformar un círculo generalizado descrito por por la transformación de Möbius , toma la inversa de la transformación y hacer
Referencias
- Hans Schwerdtfeger , Geometría de números complejos , Publicaciones Courier Dover , 1979
- Michael Henle, "Geometría moderna: no euclidiana, proyectiva y discreta", segunda edición, Prentice Hall , 2001