Generalizaciones de la derivada

En matemáticas , la derivada es una construcción fundamental del cálculo diferencial y admite muchas generalizaciones posibles dentro de los campos del análisis matemático , la combinatoria , el álgebra y la geometría .

En análisis real, complejo y funcional, las derivadas se generalizan a funciones de varias variables reales o complejas y funciones entre espacios vectoriales topológicos . Un caso importante es la derivada variacional en el cálculo de variaciones . La aplicación repetida de diferenciación conduce a derivadas de orden superior y operadores diferenciales.

La derivada a menudo se cumple por primera vez como una operación en una sola función real de una sola variable real. Una de las configuraciones más simples para las generalizaciones es vectorizar funciones valoradas de varias variables (la mayoría de las veces el dominio también forma un espacio vectorial). Este es el campo del cálculo multivariable .

En cálculo de una variable, decimos que una función es diferenciable en un punto x si el límite $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

existe Su valor es entonces la derivada ƒ'( x ). Una función es derivable en un intervalo si es derivable en todos los puntos del intervalo. Dado que la línea es tangente a la función original en el punto , la derivada puede verse como una forma de encontrar la mejor aproximación lineal de una función. Si uno ignora el término constante, estableciendo , L ( z ) se convierte en un operador lineal real en R considerado como un espacio vectorial sobre sí mismo. $L(z)=f'(x)(zx)+f(x)$ ${\ estilo de visualización (x, f (x)),}$ ${\ estilo de visualización L (z) = f' (x) z}$

Esto motiva la siguiente generalización a las funciones mapeadas a : ƒ es diferenciable en x si existe un operador lineal A ( x ) (dependiendo de x ) tal que ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n}}$