En matemáticas , un espacio vectorial topológico (también llamado espacio topológico lineal y TVS o televisores comúnmente abreviado ) es una de las estructuras básicas investigadas en el análisis funcional . Un espacio vectorial topológico es un espacio vectorial (una estructura algebraica ) que también es un espacio topológico , esto implica que las operaciones del espacio vectorial sean funciones continuas . Más específicamente, su espacio topológico tiene una estructura topológica uniforme , lo que permite una noción de convergencia uniforme .
Los elementos de los espacios vectoriales topológicos son típicamente funciones u operadores lineales que actúan sobre espacios vectoriales topológicos, y la topología a menudo se define para capturar una noción particular de convergencia de secuencias de funciones.
Los espacios de Banach , los espacios de Hilbert y los espacios de Sobolev son ejemplos bien conocidos.
A menos que se indique lo contrario, se supone que el campo subyacente de un espacio vectorial topológico son los números complejos o los números reales .
Motivación
- Espacios normativos
Todo espacio vectorial normado tiene una estructura topológica natural : la norma induce una métrica y la métrica induce una topología. Este es un espacio vectorial topológico porque:
- La suma de vectores es conjuntamente continuo con respecto a esta topología. Esto se sigue directamente de la desigualdad triangular obedecida por la norma.
- La multiplicación escalar dónde es el campo escalar subyacente de , es conjuntamente continuo. Esto se sigue de la desigualdad triangular y la homogeneidad de la norma.
Por tanto, todos los espacios de Banach y de Hilbert son ejemplos de espacios vectoriales topológicos.
- Espacios no normativos
Hay espacios vectoriales topológicos cuya topología no está inducida por una norma, pero que siguen siendo de interés para el análisis. Ejemplos de tales espacios son los espacios de funciones holomórficas en un dominio abierto, los espacios de funciones infinitamente diferenciables , los espacios de Schwartz y los espacios de funciones de prueba y los espacios de distribuciones en ellos. Todos estos son ejemplos de espacios Montel . Un espacio Montel de dimensión infinita nunca es normalizable. La existencia de una norma para un espacio vectorial topológico dado se caracteriza por el criterio de normabilidad de Kolmogorov .
Un campo topológico es un espacio vectorial topológico sobre cada uno de sus subcampos .
Definición
Un espacio vectorial topológico ( TVS )es un espacio vectorial sobre un campo topológico (la mayoría de las veces los números reales o complejos con sus topologías estándar) que está dotado de una topología tal que la suma de vectores y multiplicación escalar son funciones continuas (donde los dominios de estas funciones están dotados de topologías de producto ). Esta topología se denomina topología vectorial o topología TVS en.
Cada espacio vectorial topológico es también un grupo topológico conmutativo en adición.
- Supuesto de Hausdorff
Algunos autores (por ejemplo, Walter Rudin ) requieren la topología enser T 1 ; entonces se sigue que el espacio es Hausdorff , e incluso Tychonoff . Se dice que un espacio vectorial topológico está separado si es de Hausdorff; lo que es más importante, "separados" no significa separables . Las estructuras algebraicas lineales y topológicas se pueden unir aún más estrechamente con suposiciones adicionales, las más comunes de las cuales se enumeran a continuación .
- Categoría y morfismos
La categoría de espacios vectoriales topológicos sobre un campo topológico dado.se denota comúnmente TVSo TVect. Los objetos son los espacios vectoriales topológicos sobrey los morfismos son los continuos-Mapas lineales de un objeto a otro.
Un homomorfismo TVS u homomorfismo topológico [1] [2] es un mapa lineal continuo entre espacios vectoriales topológicos (TVS) de modo que el mapa inducido es un mapeo abierto cuando, que es el rango o imagen de , Se da la topología del subespacio inducida por Y .
Una incrustación de TVS o un monomorfismo topológico es un homomorfismo topológico inyectivo . De manera equivalente, una incrustación de TVS es un mapa lineal que también es una incrustación topológica . [1]
Un isomorfismo TVS o un isomorfismo en la categoría de TVS es un homeomorfismo lineal biyectivo . De manera equivalente, es una incrustación de TVS sobreyectiva [1]
Muchas propiedades de los TVS que se estudian, como la convexidad local , la metrizabilidad , la integridad y la normalidad , son invariantes bajo los isomorfismos TVS.
- Una condición necesaria para una topología vectorial
Una colección de subconjuntos de un espacio vectorial se llama aditivo [3] si para cada, existe algo tal que .
Caracterización de la continuidad de la adición en [3] - Sies un grupo (como lo son todos los espacios vectoriales), es una topología en , y está dotado de la topología del producto , luego el mapa de adición (definido por ) es continuo en el origen de si y solo si el conjunto de vecindarios del origen enes aditivo. Esta afirmación sigue siendo cierta si la palabra "vecindario" se reemplaza por "vecindario abierto".
Por consiguiente, todas las condiciones anteriores son una necesidad para que una topología forme una topología vectorial.
Definición de topologías utilizando vecindarios del origen
Dado que toda topología vectorial es invariante en la traducción (es decir, para todos , el mapa definido por es un homeomorfismo ), para definir una topología vectorial basta con definir una base de vecindad (o subbase) para ella en el origen.
Teorema [4] (Filtro de vecindad del origen) - Suponga quees un espacio vectorial real o complejo. Sies una colección de aditivos no vacíos de subconjuntos equilibrados y absorbentes de luego es una base de vecindario en para una topología vectorial en . Es decir, las suposiciones son quees una base de filtro que cumple las siguientes condiciones:
- Cada es equilibrado y absorbente ,
- es aditivo: para cada existe un tal que ,
Si satisface las dos condiciones anteriores pero no es una base de filtro, entonces formará una subbase de vecindad en (en lugar de una base de vecindad) para una topología vectorial en .
En general, el conjunto de todos los subconjuntos equilibrados y absorbentes de un espacio vectorial no satisface las condiciones de este teorema y no forma una base de vecindad en el origen de ninguna topología vectorial. [3]
Definición de topologías mediante cadenas
Dejar ser un espacio vectorial y dejar ser una secuencia de subconjuntos de . Cada conjunto en la secuenciase llama un nudo de y para cada índice , se llama el th nudo de El conjunto se llama el comienzo de La secuencia es / es un: [5] [6] [7]
- Sumativo si para cada índice .
- Equilibrado (resp. Absorbente , cerrado , [nota 1] convexo , abierto , simétrico , barreado , absolutamente convexo / discado , etc.) si esto es cierto para todos los.
- Cadena si es sumativo, absorbente y equilibrado.
- Cadena topológica o una cadena de vecindad en un televisor Si es una cuerda y cada uno de sus nudos es una vecindad del origen en .
Si es un disco absorbente en un espacio vectorial entonces la secuencia definida por forma una cadena que comienza con . Esto se llama cadena natural de[5] Además, si un espacio vectorialtiene una dimensión contable, entonces cada cadena contiene una cadena absolutamente convexa .
Las secuencias sumativas de conjuntos tienen la propiedad particularmente agradable de que definen funciones subaditivas continuas no negativas de valor real . Estas funciones se pueden utilizar para probar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos.
Teorema (-función valorada inducida por una cadena) - Sea ser una colección de subconjuntos de un espacio vectorial tal que y para todos Para todos dejar
Definir por Si y de lo contrario deja
Luego es subaditivo (que significa para todos ) y en así que en particular Me caigo son conjuntos simétricos entonces y si todo están equilibrados entonces para todos los escalares tal que y todo Si es un espacio vectorial topológico y si todos son barrios del origen entonces es continuo, donde si además es Hausdorff y forma una base de vecindarios equilibrados del origen en luego es una métrica que define la topología vectorial en .
Una prueba del teorema anterior se da en el artículo sobre televisores metrizables .
Si y son dos colecciones de subconjuntos de un espacio vectorial y si es un escalar, entonces por definición: [5]
- contiene : si y solo si para cada índice
- Conjunto de nudos :
- Kernel :
- Múltiplo escalar :
- Suma :
- Intersección : .
Si es una colección de secuencias de subconjuntos de luego se dice que está dirigido ( hacia abajo ) bajo inclusión o simplemente dirigido si no esta vacio y para todos existe algo tal que y (dicho de otra manera, si y solo si es un prefiltro con respecto a la contención definido anteriormente).
Notación : Let ser el conjunto de todos los nudos de todas las cuerdas en
La definición de topologías vectoriales utilizando colecciones de cadenas es particularmente útil para definir clases de TVS que no son necesariamente convexas localmente.
Teorema [5] (Topología inducida por cadenas) - Si es un espacio vectorial topológico, entonces existe un conjunto [prueba 1] de cadenas de vecindad en que se dirige hacia abajo y tal que el conjunto de todos los nudos de todas las cuerdas en es una base de vecindario en el origen de Se dice que tal colección de cadenas es fundamental .
Por el contrario, si es un espacio vectorial y si es una colección de cadenas en que se dirige hacia abajo, entonces el conjunto de todos los nudos de todas las cuerdas en forma una base de vecindad en el origen de una topología vectorial en En este caso, esta topología se denota por y se llama topología generada por.
Si es el conjunto de todas las cadenas topológicas en un TVS luego [5] Un TVS de Hausdorff es metrizable si y solo si su topología puede ser inducida por una sola cadena topológica. [8]
Estructura topológica
Un espacio vectorial es un grupo abeliano con respecto a la operación de suma, y en un espacio vectorial topológico la operación inversa es siempre continua (ya que es lo mismo que la multiplicación por -1). Por tanto, todo espacio vectorial topológico es un grupo topológico abeliano . Todos los televisores son completamente normales, pero no es necesario que los televisores sean normales . [9]
Dejar ser un espacio vectorial topológico. Dado un subespacio , el espacio del cociente con la topología cociente habitual es un espacio vectorial topológico de Hausdorff si y sólo siestá cerrado. [nota 2] Esto permite la siguiente construcción: dado un espacio vectorial topológico (que probablemente no sea Hausdorff), forman el espacio del cociente dónde es el cierre de . es entonces un espacio vectorial topológico de Hausdorff que se puede estudiar en lugar de .
Invarianza de topologías vectoriales
Una de las propiedades más utilizadas de las topologías vectoriales es que cada topología vectorial es invariante en la traducción :
- para todos , el mapa definido por es un homeomorfismo , pero si entonces no es lineal y por lo tanto no es un isomorfismo TVS.
La multiplicación escalar por un escalar distinto de cero es un isomorfismo TVS. Esto significa que si luego el mapa lineal definido por es un homeomorfismo. Utilizando produce el mapa de negación definido por , que es en consecuencia un homeomorfismo lineal y, por tanto, un isomorfismo TVS.
Si y cualquier subconjunto , luego [4] y además, si luego es un vecindario (resp. vecindario abierto, vecindario cerrado) de en si y solo si lo mismo es cierto de Al origen.
Nociones locales
Un subconjunto de un espacio vectorial se ha dicho
- absorber (en): si para cada , existe un real tal que para cualquier escalar satisfactorio .
- equilibrado o en un círculo : si por cada escalar .
- convexo : si por cada real .
- un disco o absolutamente convexo : si es convexo y equilibrado.
- simétrico : si, o de manera equivalente, si .
Cada vecindario de 0 es un conjunto absorbente y contiene un vecindario equilibrado abierto de[4] por lo que cada espacio vectorial topológico tiene una base local de conjuntos absorbentes y equilibrados . El origen incluso tiene una base de vecindad que consiste en vecindarios equilibrados cerrados de 0; si el espacio es localmente convexo, entonces también tiene una base de vecindad que consiste en vecindades equilibradas convexas cerradas de 0.
- Subconjuntos acotados
Un subconjunto de un espacio vectorial topológico está acotado [10] si para cada vecindario del origen, entonces Cuándo es suficientemente grande.
La definición de delimitación puede debilitarse un poco; está acotado si y solo si todos los subconjuntos contables están acotados. Un conjunto está acotado si y solo si cada una de sus subsecuencias es un conjunto acotado. [11] Además, está limitado si y solo si para cada vecindario equilibrado de 0, existe tal que . Además, cuandoes localmente convexa, la delimitación se puede caracterizar por seminormas : el subconjunto está limitada si y solo si cada seminorma continua está limitado a .
Todo conjunto totalmente acotado está acotado. [11] Si es un subespacio vectorial de un TVS , luego un subconjunto de está delimitado en si y solo si está acotado en . [11]
Metrizabilidad
Teorema de Birkhoff-Kakutani - Sies un espacio vectorial topológico, entonces las siguientes tres condiciones son equivalentes: [12] [nota 3]
- El origen está cerrado en , y hay una base contable de vecindarios para 0 en.
- es metrizable (como espacio topológico).
- Hay una métrica invariante en la traducción en que induce a la topología , que es la topología dada en .
- es un espacio vectorial topológico metrizable . [nota 4]
Según el teorema de Birkhoff-Kakutani, se deduce que existe una métrica equivalente que es invariante en la traducción.
Un TVS es pseudometrizable si y solo si tiene una base de vecindad contable en el origen, o equivalente, si y solo si su topología es generada por una F- semifinal . Un TVS es metrizable si y solo si es Hausdorff y pseudometrizable.
Más fuertemente: se dice que un espacio vectorial topológico es normable si su topología puede ser inducida por una norma. Un espacio vectorial topológico es normable si y solo si es de Hausdorff y tiene una vecindad acotada convexa de. [13]
Dejar ser un campo topológico localmente compacto no discreto , por ejemplo, los números reales o complejos. Un espacio vectorial topológico de Hausdorff sobrees localmente compacto si y sólo si es de dimensión finita , es decir, isomorfo a por algún número natural .
Completitud y estructura uniforme
La uniformidad canónica [14] en un televisores la uniformidad invariante de traducción única que induce la topología en .
Se supone que cada TVS está dotado de esta uniformidad canónica, que convierte a todos los TVS en espacios uniformes . Esto permite a uno [ aclaración necesaria ] acerca de nociones relacionadas como completitud , convergencia uniforme , redes de Cauchy y continuidad uniforme . etc., que siempre se asume con respecto a esta uniformidad (a menos que se indique otra). Esto implica que cada espacio vectorial topológico de Hausdorff es Tychonoff . [15] Un subconjunto de un TVS es compacto si y solo si está completo y totalmente acotado (para los TVS de Hausdorff, un conjunto totalmente acotado equivale a ser precompacto ). Pero si el TVS no es Hausdorff, existen subconjuntos compactos que no están cerrados. Sin embargo, el cierre de un subconjunto compacto de un TVS que no es de Hausdorff es nuevamente compacto (por lo que los subconjuntos compactos son relativamente compactos ).
Con respecto a esta uniformidad, una red (o secuencia)es Cauchy si y solo si para cada barrio de , existe algún índice tal que cuando sea y .
Cada secuencia de Cauchy está delimitada, aunque las redes de Cauchy y los filtros de Cauchy pueden no estar delimitados. Un espacio vectorial topológico en el que converge toda secuencia de Cauchy se denomina secuencialmente completo ; en general, puede que no esté completo (en el sentido de que todos los filtros de Cauchy convergen).
La operación de adición del espacio vectorial es uniformemente continua y un mapa abierto . La multiplicación escalar es Cauchy continua pero, en general, casi nunca es uniformemente continua. Debido a esto, cada espacio vectorial topológico se puede completar y, por lo tanto, es un subespacio lineal denso de un espacio vectorial topológico completo .
- Cada TV tiene una terminación y cada Hausdorff TVS tiene una terminación de Hausdorff. [4] Cada TVS (incluso aquellos que son Hausdorff y / o completos) tiene infinitas terminaciones no isomórficas que no son de Hausdorff.
- Un subconjunto compacto de un TVS (no necesariamente Hausdorff) está completo. [16] Se cierra un subconjunto completo de un TVS de Hausdorff. [dieciséis]
- Si es un subconjunto completo de un TVS, entonces cualquier subconjunto de que esta cerrado en Esta completo. [dieciséis]
- Una secuencia de Cauchy en un televisor de Hausdorff no es necesariamente relativamente compacto (es decir, su cierre en no es necesariamente compacto).
- Si un filtro de Cauchy en un TVS tiene un punto de acumulación luego converge a .
- Si una serie converge [nota 5] en un TVS luego en . [17]
Ejemplos de
Topología vectorial más fina y burda
Dejar ser un espacio vectorial real o complejo.
- Topología trivial
La topología trivial o topología indiscreta es siempre una topología de TVS en cualquier espacio vectorial y es la topología de TVS más tosca posible. Una consecuencia importante de esto es que la intersección de cualquier colección de topologías TVS ensiempre contiene una topología TVS. Cualquier espacio vectorial (incluidos los que son de dimensión infinita) dotado de la topología trivial es un espacio vectorial topológico localmente convexo, seudometrizable, seudometrizable, completo y compacto (y, por tanto, localmente compacto ) . Es Hausdorff si y solo si .
- Topología vectorial más fina
Existe una topología TVS en que es más fina que cualquier otra topología de TVS en (es decir, cualquier topología TVS en es necesariamente un subconjunto de ). [18] [19] Todos los mapas lineales de} en otro TVS es necesariamente continuo. Sitiene una base incontable de Hamel entoncesno es localmente convexo y no metrizable . [19]
Espacios vectoriales de producto
Un producto cartesiano de una familia de espacios vectoriales topológicos, cuando está dotado de la topología del producto , es un espacio vectorial topológico. Considere, por ejemplo, el conjunto de todas las funciones dónde lleva su topología euclidiana habitual . Este conjuntoes un espacio vectorial real (donde la suma y la multiplicación escalar se definen puntualmente, como de costumbre) que se puede identificar con (y de hecho, a menudo se define como) el producto cartesiano , que lleva la topología de producto natural . Con esta topología de producto,se convierte en un espacio vectorial topológico cuya topología se denomina topología de convergencia puntual en. El motivo de este nombre es el siguiente: sies una secuencia (o más generalmente, una red ) de elementos en y si luego converge a en si y solo si para cada número real , converge a en . Este TVS es completo , de Hausdorff y localmente convexo pero no metrizable y, por lo tanto, no normalizable ; de hecho, cada vecindad del origen en la topología del producto contiene líneas (es decir, subespacios vectoriales unidimensionales, que son subconjuntos de la forma con ).
Espacios de dimensión finita
Dejar denotar o y dotar con su topología euclidiana normalizada de Hausdorff habitual . Dejar ser un espacio vectorial sobre de dimensión finita y asi que es el espacio vectorial isomorfo a (explícitamente, esto significa que existe un isomorfismo lineal entre los espacios vectoriales y ). Este espacio vectorial de dimensión finitasiempre tiene una topología vectorial de Hausdorff única , lo que hace que TVS sea isomorfo para, dónde está dotado de la topología euclidiana habitual (que es la misma que la topología del producto ). Esta topología vectorial de Hausdorff es también la topología vectorial más fina (única) en. tiene una topología vectorial única si y solo si . Si entonces aunque no tiene una topología de vector única, tiene una topología de vector de Hausdorff única .
- Si luego tiene exactamente una topología vectorial: la topología trivial , que en este caso (y solo en este caso) es Hausdorff . La topología trivial en un espacio vectorial es Hausdorff si y solo si el espacio vectorial tiene dimensión.
- Si luego tiene dos topologías vectoriales: la topología euclidiana habitual y la topología trivial (que no es de Hausdorff).
- Desde el campo es en sí mismo un espacio vectorial topológico unidimensional sobre y dado que juega un papel importante en la definición de espacios vectoriales topológicos, esta dicotomía juega un papel importante en la definición de un conjunto absorbente y tiene consecuencias que repercuten en todo el análisis funcional .
Esquema de prueba |
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La prueba de esta dicotomía es sencilla, por lo que solo se proporciona un esquema con las observaciones importantes. Como siempre,se supone que tienen la topología euclidiana (normalizada). Dejar ser un espacio vectorial unidimensional sobre . Observa que si es una bola centrada en 0 y si es un subconjunto que contiene una "secuencia ilimitada", entonces , donde una "secuencia ilimitada" significa una secuencia de la forma dónde y es ilimitado en el espacio normado . Cualquier topología vectorial en será invariante en la traducción e invariante bajo una multiplicación escalar distinta de cero, y para cada , el mapa dada por es una biyección lineal continua. En particular, para cualquier, así que cada subconjunto de Se puede escribir como para algún subconjunto único Y si esta topología vectorial en tiene una vecindad de 0 que está contenida correctamente en , luego la continuidad de la multiplicación escalar en el origen obliga a la existencia de una vecindad abierta del origen en que no contiene ninguna "secuencia ilimitada". De esto se deduce que si no lleva la topología trivial y si , luego para cualquier bola centro a 0 en , contiene una vecindad abierta del origen en así que eso es, pues, un homeomorfismo lineal . ∎ |
- Si luego tiene infinitas topologías vectoriales distintas:
- Algunas de estas topologías se describen ahora: Cada funcional lineal en , que es el espacio vectorial isomorfo a , induce una seminorma definido por dónde . Cada seminorma induce una topología vectorial ( pseudometrizable localmente convexa ) en y seminormas con distintos núcleos inducen distintas topologías de modo que, en particular, seminormas en que son inducidos por funcionales lineales con kernel distinto inducirán topologías vectoriales distintas en .
- Sin embargo, aunque hay infinitas topologías vectoriales en Cuándo , hay, hasta TVS-isomorfismo solamente topologías vectoriales en . Por ejemplo, si luego las topologías vectoriales en consisten en la topología trivial, la topología euclidiana de Hausdorff, y luego las infinitas topologías vectoriales no triviales no euclidianas restantes en son todos TVS-isomorfos entre sí.
Topologías no vectoriales
- Topologías discretas y cofinitas
Si es un espacio vectorial no trivial (es decir, de dimensión distinta de cero), entonces la topología discreta en(que siempre es metrizable ) no es una topología TVS porque a pesar de hacer que la adición y la negación sean continuas (lo que las convierte en un grupo topológico bajo la suma), no logra que la multiplicación escalar sea continua. La topología cofinita en(donde un subconjunto está abierto si y solo si su complemento es finito) tampoco es una topología TVS en.
Mapas lineales
Un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos que es continuo en un punto es continuo en todo el dominio. Además, un operador lineal es continuo si está limitado (como se define a continuación) para algunos vecindarios del origen.
Un hiperplano en un espacio vectorial topológico.es denso o cerrado. Un funcional lineal en un espacio vectorial topológico tiene un núcleo denso o cerrado. Es más,es continuo si y solo si su núcleo está cerrado .
Tipos
Dependiendo de la aplicación, generalmente se imponen restricciones adicionales en la estructura topológica del espacio. De hecho, varios resultados principales en el análisis funcional no se cumplen en general para los espacios vectoriales topológicos: el teorema del grafo cerrado , el teorema del mapeo abierto y el hecho de que el espacio dual del espacio separa puntos en el espacio.
A continuación se muestran algunos espacios vectoriales topológicos comunes, ordenados de forma aproximada por su simplicidad .
- Los espacios F son espacios vectoriales topológicos completos con una métrica invariante en la traducción. Éstas incluyen L pag {\ Displaystyle L ^ {p}} espacios para todos.
- Espacios vectoriales topológicos localmente convexos : aquí cada punto tiene una base local que consta de conjuntos convexos . Mediante una técnica conocida como funcionales de Minkowski se puede demostrar que un espacio es localmente convexo si y solo si su topología puede ser definida por una familia de seminormas. La convexidad local es el requisito mínimo para argumentos "geométricos" como el teorema de Hahn-Banach . La los espacios son localmente convexos (de hecho, espacios de Banach) para todos , pero no para .
- Espacios en barril : espacios localmente convexos donde se cumple el teorema de Banach-Steinhaus .
- Espacio bornológico : un espacio localmente convexo donde los operadores lineales continuos a cualquier espacio localmente convexo son exactamente los operadores lineales acotados .
- Espacio estereotipado : un espacio localmente convexo que satisface una variante de la condición de reflexividad , donde el espacio dual está dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente acotados .
- Espacio Montel : un espacio barrenado donde todo conjunto cerrado y acotado es compacto
- Espacios de Fréchet : son espacios localmente convexos completos donde la topología proviene de una métrica invariante en la traducción, o lo que es lo mismo: de una familia contable de seminormas. Muchos espacios interesantes de funciones entran en esta clase. Un espacio F localmente convexo es un espacio de Fréchet.
- Los espacios LF son límites de los espacios Fréchet . Los espacios ILH son límites inversos de los espacios de Hilbert.
- Espacios nucleares : son espacios localmente convexos con la propiedad de que todo mapa acotado desde el espacio nuclear hasta un espacio arbitrario de Banach es un operador nuclear .
- Espacios normativos y espacios seminormados : espacios localmente convexos donde la topología puede ser descrita por una norma única o seminormal . En los espacios normativos, un operador lineal es continuo si y solo si está acotado.
- Espacios de Banach : Espacios vectoriales normativos completos . La mayor parte del análisis funcional se formula para espacios de Banach.
- Espacios reflexivos de Banach : los espacios de Banach son naturalmente isomorfos a su doble dual (ver más abajo), lo que asegura que se puedan llevar a cabo algunos argumentos geométricos. Un ejemplo importante que no es reflexivo es L 1 {\ Displaystyle L ^ {1}} , cuyo dual es pero está estrictamente contenido en el dual de .
- Espacios de Hilbert : estos tienen un producto interior ; aunque estos espacios pueden ser de dimensión infinita, la mayoría de los razonamientos geométricos familiares de las dimensiones finitas pueden llevarse a cabo en ellos. Éstas incluyen espacios.
- Espacios euclidianos : o con la topología inducida por el producto interno estándar. Como se señaló en la sección anterior, para un determinado finito, sólo hay uno -espacio vectorial topológico dimensional, hasta isomorfismo. De esto se deduce que cualquier subespacio de dimensión finita de un TVS está cerrado. Una caracterización de la dimensionalidad finita es que un TVS de Hausdorff es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita (por lo tanto, isomorfo a algún espacio euclidiano).
Espacio dual
Cada espacio vectorial topológico tiene un espacio dual continuo: el conjuntode todos los funcionales lineales continuos, es decir, mapas lineales continuos desde el espacio al campo base Una topología en el dual se puede definir como la topología más burda, de modo que el emparejamiento dual de cada evaluación de punto es continuo. Esto convierte al dual en un espacio vectorial topológico localmente convexo. Esta topología se denomina topología débil * . Puede que esta no sea la única topología natural en el espacio dual; por ejemplo, el dual de un espacio normado tiene una norma natural definida en él. Sin embargo, es muy importante en aplicaciones debido a sus propiedades de compacidad (ver teorema de Banach-Alaoglu ). Precaución: siempre que es un espacio convexo local no normable, entonces el mapa de emparejamiento nunca es continuo, no importa qué topología de espacio vectorial se elija en
Propiedades
Para cualquier de un televisor , el casco convexo (resp. equilibrado , de disco , convexo cerrado, equilibrado cerrado, disco cerrado ) de es el subconjunto más pequeño de que tiene esta propiedad y contiene .
El cierre (resp. Interior, casco convexo , casco equilibrado, casco con discos) de un conjunto a veces se denota por (resp. , , , ).
Barrios y decorados abiertos
- Propiedades de barrios y conjuntos abiertos
- Los subconjuntos convexos abiertos de un TVS (no necesariamente Hausdorff o localmente convexo) son exactamente los que tienen la forma para algunos y algunas funciones sublineales continuas positivas en . [20]
- Si y es un subconjunto abierto de luego es un set abierto en . [4]
- Si tiene interior no vacío entonces es un barrio del origen. [4]
- Si es un disco absorbente en un TVS y si es el Minkowski funcional deluego [21]
- Fue no supone que tenía propiedades topológicas ni que era continuo (lo que sucede si y solo si es un barrio de 0).
- Todos los televisores están conectados [4] y conectados localmente . [22] Cualquier subconjunto abierto conectado de un TVS está conectado en forma de arco .
- Dejar y ser dos topologías vectoriales en . Luego si y solo si siempre que una red en converge 0 en luego en . [23]
- Dejar ser una base vecinal del origen en , dejar , y deja . Luego si y solo si existe una red en (indexado por ) tal que en . [24] [nota 6]
- Interior
- Si tiene interior no vacío entonces y .
- Si y tiene interior no vacío entonces .
- Si es un disco en que tiene un interior no vacío, entonces 0 pertenece al interior de . [25]
- Sin embargo, un subconjunto equilibrado cerrado decon interior no vacío puede no contener 0 en su interior. [25]
- Si es un subconjunto equilibrado de con interior no vacío entonces está equilibrado en particular, si el interior de un conjunto equilibrado contiene el origen, entoncesestá equilibrado. [4] [nota 7]
- Si pertenece al interior de un conjunto convexo y , luego el segmento de línea semiabierto Si y Si . [26] Sies un barrio equilibrado de en luego, considerando las intersecciones de la forma (que son vecindarios simétricos convexos de en los televisores reales ) resulta que:
- , dónde .
- Si y luego , , y si luego .
- Si es convexo y , luego . [27]
Espacios ajenos a Hausdorff y el cierre del origen
- es Hausdorff si y solo si está cerrado en .
- por lo que cada vecindario del origen contiene el cierre de .
- es un subespacio vectorial de y su topología subespacial es la topología trivial (que hace compacto).
- Cada subconjunto de es compacto y por lo tanto completo (ver nota a pie de página para una prueba). [prueba 2] En particular, sino es Hausdorff, entonces existen subconjuntos completos compactos que no están cerrados. [28]
- para cada subconjunto . [prueba 3]
- Así que si está abierto o cerrado en luego (entonces es un "tubo" con un lado vertical).
- El mapa del cociente es un mapa cerrado en un televisor Hausdorff. [29]
- Un subconjunto de un televisor está totalmente acotado si y solo siestá totalmente acotado, [30] si y solo siestá totalmente acotado, [31] [32] si y solo si su imagen bajo el mapa de cociente canónicoestá totalmente acotado. [30]
- Si es compacto, entonces y este conjunto es compacto. Por tanto, el cierre de un conjunto compacto es compacto [nota 8] (es decir, todos los conjuntos compactos son relativamente compactos ). [33]
- Un subespacio vectorial de un TVS está acotado si y solo si está contenido en el cierre de . [11]
- Si es un subespacio vectorial de un TVS luego es Hausdorff si y solo si está cerrado en .
- Cada subespacio vectorial de que es un complemento algebraico de es un complemento topológico de. Así que si es un complemento algebraico de en luego el mapa de adición , definido por es un isomorfismo TVS, donde es Hausdorff y tiene la topología indiscreta . [34] Además, sies una terminación de Hausdorff de luego es una terminación de . [30]
Conjuntos cerrados y compactos
- Conjuntos compactos y totalmente acotados
- Un subconjunto de un TVS es compacto si y solo si está completo y totalmente acotado . [28]
- Por lo tanto, en un TVS completo, un subconjunto cerrado y totalmente acotado es compacto. [28]
- Un subconjunto de un televisor está totalmente acotado si y solo siestá totalmente acotado, [31] [32] si y solo si su imagen bajo el mapa de cociente canónicoestá totalmente acotado. [30]
- Todo conjunto relativamente compacto está totalmente limitado. [28] El cierre de un conjunto totalmente acotado está totalmente acotado. [28]
- La imagen de un conjunto totalmente acotado bajo un mapa uniformemente continuo (por ejemplo, un mapa lineal continuo) está totalmente acotado. [28]
- Si es un subconjunto compacto de TVS y es un subconjunto abierto de conteniendo , entonces existe un barrio de 0 tal que . [35]
- Si es un subconjunto de TVS tal que cada secuencia en tiene un punto de clúster en luego está totalmente acotado. [30]
- Cierre y conjunto cerrado
- Si y es un escalar entonces ; Si es Hausdorff, , o entonces la igualdad se mantiene: .
- En particular, todo múltiplo escalar distinto de cero de un conjunto cerrado es cerrado.
- Si y luego es convexo. [36]
- Si luego y . [4] Por tanto, si está cerrado, entonces también lo está . [36]
- Si y si es un conjunto de escalares tales que ni ni contener cero entonces . [36]
- El cierre de un subespacio vectorial de un TVS es un subespacio vectorial.
- Si luego dónde es cualquier base de vecindario en el origen de . [37]
- Sin emabargo, y es posible que esta contención sea adecuada [38] (por ejemplo, si y son los números racionales).
- Resulta que para cada barrio del origen en . [39]
- Si es un televisor real y , luego (observe que el lado izquierdo es independiente de la topología en ); Si es una vecindad convexa del origen, entonces se cumple la igualdad.
- La suma de un conjunto compacto y un conjunto cerrado es cerrada. Sin embargo, es posible que la suma de dos subconjuntos cerrados no se cierre [4] (consulte esta nota al pie [nota 9] para ver ejemplos).
- Si es un subespacio vectorial de y es un barrio cerrado del origen en tal que está cerrado en luego está cerrado en . [35]
- Cada subespacio vectorial de dimensión finita de un TVS de Hausdorff está cerrado. La suma de un subespacio vectorial cerrado y un subespacio vectorial de dimensión finita es cerrada. [4]
- Cascos cerrados
- En un espacio localmente convexo, los cascos convexos de conjuntos acotados están acotados. Esto no es cierto para los televisores en general. [11]
- El casco convexo cerrado de un conjunto es igual al cierre del casco convexo de ese conjunto; es decir, igual a. [4]
- El casco cerrado equilibrado de un conjunto es igual al cierre del casco equilibrado de ese conjunto; es decir, igual a. [4]
- El casco de disco cerrado de un conjunto es igual al cierre del casco de disco de ese conjunto; es decir, igual a. [4]
- Si y el casco convexo cerrado de uno de los conjuntos o es compacto entonces . [4]
- Si cada uno tiene un casco convexo cerrado que es compacto (es decir, y son compactos) entonces .
- Cascos y compacidad
- En un TVS general, el casco convexo cerrado de un conjunto compacto puede no ser compacto.
- El casco equilibrado de un conjunto compacto (o totalmente acotado ) tiene la misma propiedad. [4]
- El casco convexo de una unión finita de conjuntos convexos compactos es de nuevo compacto y convexo. [4]
Otras propiedades
- Escaso, denso en ninguna parte y Baire
- Un disco en un TVS no es denso en ninguna parte si y solo si su cierre es una vecindad del origen. [7]
- Un subespacio vectorial de un TVS que está cerrado pero no abierto no es denso en ninguna parte . [7]
- Suponer es un TVS que no lleva la topología indiscreta . Luegoes un espacio de Baire si y solo sino tiene subconjunto denso de absorción equilibrada en ninguna parte. [7]
- Un televisor es un espacio de Baire si y solo si no es exiguo , lo que ocurre si y solo si no existe un conjunto denso en ninguna parte tal que . [7]
- Cada TVS localmente convexo no exiguo es un espacio de barril . [7]
- Hechos algebraicos importantes y conceptos erróneos comunes
- Si luego ; Si es convexo, entonces se cumple la igualdad.
- Para un ejemplo en el que la igualdad no se sostiene, dejemos ser distinto de cero y establecer ; también funciona.
- Un subconjunto es convexo si y solo si por todo positivo real y [40]
- El casco de disco de un conjunto es igual al casco convexo del casco equilibrado de ; es decir, igual a. Sin embargo, en general
- Si y es un escalar entonces y y [4]
- Si son conjuntos disjuntos convexos no vacíos y luego o
- En cualquier espacio vectorial no trivial existen dos subconjuntos convexos no vacíos disjuntos cuya unión es
- Otras propiedades
- Cada topología de TVS puede ser generada por una familia de F -seminormas. [41]
Propiedades conservadas por operadores de conjuntos
- El casco equilibrado de un conjunto compacto (resp. Totalmente acotado , abierto) tiene la misma propiedad. [4]
- La suma (Minkowski) de dos conjuntos compactos (respectivamente acotado, equilibrado, convexo) tiene la misma propiedad. [4] Pero no es necesario cerrar la suma de dos conjuntos cerrados.
- El casco convexo de un conjunto equilibrado (resp. Abierto) está equilibrado (resp. Abierto). Sin embargo, no es necesario cerrar el casco convexo de un conjunto cerrado. [4] Y el casco convexo de un conjunto acotado no necesita estar acotado.
En la siguiente tabla, el color de cada celda indica si una propiedad dada de subconjuntos de (indicado por el nombre de la columna, por ejemplo, "convexo") se conserva bajo el operador de conjunto (indicado por el nombre de la fila, por ejemplo, "cierre"). Si en cada TVS, una propiedad se conserva bajo el operador de conjunto indicado, entonces esa celda se coloreará en verde; de lo contrario, será de color rojo.
Así, por ejemplo, dado que la unión de dos conjuntos absorbentes vuelve a absorber, la celda en fila ""y la columna" Absorbente "está coloreada en verde. Pero como la intersección arbitraria de conjuntos absorbentes no tiene por qué ser absorbente, la celda de la fila" Intersecciones arbitrarias (de al menos 1 conjunto) "y la columna" Absorbente "están coloreadas en rojo. Si una celda no está coloreado, entonces esa información aún no se ha completado.
Operación | Propiedad de , , y cualquier otro subconjunto de que se considera | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Absorbente | Equilibrado | Convexo | Simétrico | Convexo equilibrado | Subespacio vectorial | Abierto | Barrio de 0 | Cerrado | Cerrado Equilibrado | Convexo cerrado | Cerrado Convexo Equilibrado | Barril | Subespacio vectorial cerrado | Totalmente acotado | Compacto | Convexo compacto | Relativamente compacto | Completo | Secuencialmente completo | Disco de banach | Encerrado | Bornívoro | Infrabornívoros | En ninguna parte densa (en) | Pobre | Separable | Pseudometrizable | Operación | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
de aumentar la cadena no ∅ | de aumentar la cadena no ∅ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Uniones arbitrarias (de al menos 1 juego) | Uniones arbitrarias (de al menos 1 juego) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
de decreciente no cadena | de decreciente no cadena | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Intersecciones arbitrarias (de al menos 1 juego) | Intersecciones arbitrarias (de al menos 1 juego) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Múltiple escalar | Múltiple escalar | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Múltiplo escalar distinto de 0 | Múltiplo escalar distinto de 0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Múltiplo escalar positivo | Múltiplo escalar positivo | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Cierre | Cierre | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Interior | Interior | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Núcleo equilibrado | Núcleo equilibrado | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Casco equilibrado | Casco equilibrado | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Casco convexo | Casco convexo | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Casco convexo equilibrado | Casco convexo equilibrado | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Casco equilibrado cerrado | Casco equilibrado cerrado | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Casco convexo cerrado | Casco convexo cerrado | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Casco equilibrado convexo cerrado | Casco equilibrado convexo cerrado | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tramo lineal | Tramo lineal | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Pre-imagen bajo un mapa lineal continuo | Pre-imagen bajo un mapa lineal continuo | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Imagen debajo de un mapa lineal continuo | Imagen debajo de un mapa lineal continuo | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Imagen bajo una sobreyección lineal continua | Imagen bajo una sobreyección lineal continua | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Subconjunto no vacío de | Subconjunto no vacío de | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Operación | Absorbente | Equilibrado | Convexo | Simétrico | Convexo equilibrado | Subespacio vectorial | Abierto | Barrio de 0 | Cerrado | Cerrado Equilibrado | Convexo cerrado | Cerrado Convexo Equilibrado | Barril | Subespacio vectorial cerrado | Totalmente acotado | Compacto | Convexo compacto | Relativamente compacto | Completo | Secuencialmente completo | Disco de banach | Encerrado | Bornívoro | Infrabornívoros | En ninguna parte densa (en) | Pobre | Separable | Pseudometrizable | Operación |
Ver también
- Espacio de Banach: espacio vectorial normalizado que está completo
- Espacio de Hilbert : generalización matemática del espacio euclidiano a dimensiones infinitas
- Espacio normado
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Grupo topológico : grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua
- Espacio vectorial - Estructura algebraica básica del álgebra lineal
Notas
- ^ Las propiedades topológicas, por supuesto, también requieren que ser un televisor.
- ^ En particular, es Hausdorff si y solo si el conjunto está cerrado (es decir, es un espacio T 1 ).
- ^ De hecho, esto es cierto para el grupo topológico, ya que la prueba no usa las multiplicaciones escalares.
- ^ También llamado espacio lineal métrico , lo que significa que es un espacio vectorial real o complejo junto con una métrica invariante en traslación para la cual la suma y la multiplicación escalar son continuas.
- ^ Una seriese dice que converge en un televisor si la secuencia de sumas parciales converge.
- ^ Esto muestra, en particular, que a menudo será suficiente considerar redes indexadas por una base de vecindad del origen en lugar de redes en conjuntos dirigidos arbitrariamente.
- ^ Si el interior de un conjunto equilibrado no está vacío pero no contiene el origen (tales conjuntos existen incluso en y ) entonces el interior de este conjunto no puede ser un conjunto equilibrado.
- ^ En la topología general, el cierre de un subconjunto compacto de un espacio que no es de Hausdorff puede no ser compacto (por ejemplo, la topología de puntos particular en un conjunto infinito). Este resultado muestra que esto no sucede en TVS que no son de Hausdorff. es compacto porque es la imagen del conjunto compacto bajo el mapa de suma continua . Recuerde también que la suma de un conjunto compacto (es decir,) y un conjunto cerrado está cerrado está cerrado en .
- ^ En el, la suma de la -eje y la gráfica de , que es el complemento de la -eje, está abierto en En , la suma de y es un subconjunto denso contable de así que no encerrado en .
- ^ Esta condición se cumple si denota el conjunto de todas las cadenas topológicas en
- ^ Desdetiene la topología trivial, al igual que cada uno de sus subconjuntos, lo que los hace todos compactos. Se sabe que un subconjunto de cualquier espacio uniforme es compacto si y solo si está completo y totalmente acotado.
- ^ Si luego . Porque, Si está cerrado, entonces se mantiene la igualdad. Claramente, el complemento de cualquier conjunto satisfaciendo la igualdad también debe satisfacer esta igualdad.
Citas
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enlaces externos
- Medios relacionados con espacios vectoriales topológicos en Wikimedia Commons