En álgebra abstracta , el campo de fracciones de un dominio integral es el campo más pequeño en el que se puede incrustar . La construcción del campo de fracciones se basa en la relación entre el dominio integral de números enteros y el campo de números racionales . Intuitivamente, consiste en proporciones entre elementos integrales del dominio.
El campo de las fracciones de a veces se denota por o , y la construcción a veces se denomina campo de fracción , campo de cocientes o campo de cociente de. Los cuatro son de uso común, pero no deben confundirse con el cociente de un anillo por un ideal , que es un concepto bastante diferente. Para un anillo conmutativo que no es un dominio integral, una construcción relacionada se denomina localización o anillo de cocientes.
Definición
Dado un dominio integral y dejando , definimos una relación de equivalencia en Dejando cuando sea . Denotamos la clase de equivalencia de por la fracción . Esta noción de equivalencia está motivada por los números racionales, que tienen la misma propiedad con respecto al anillo subyacente de enteros.
Entonces el campo de fracciones es el conjunto con la suma dada por
y multiplicación dada por
Se puede comprobar que estas operaciones están bien definidas y que, para cualquier dominio integral , es de hecho un campo. En particular, para, el inverso multiplicativo de es como se esperaba: .
La incrustación de en mapas cada uno en a la fracción para cualquier distinto de cero (la clase de equivalencia es independiente de la elección ). Esto se basa en la identidad.
El campo de las fracciones de se caracteriza por la siguiente propiedad universal :
- Si es un homomorfismo de anillo inyectivo de en un campo , entonces existe un homomorfismo de anillo único que se extiende .
Hay una interpretación categórica de esta construcción. Dejarser la categoría de dominios integrales y mapas de anillos inyectivos. El functor dea la categoría de campos que lleva cada dominio integral a su campo de fracción y cada homomorfismo al mapa inducido de campos (que existe por la propiedad universal) es el adjunto izquierdo del funtor de inclusión de la categoría de campos a. Por tanto, la categoría de campos (que es una subcategoría completa) es una subcategoría reflexiva de.
No se requiere una identidad multiplicativa para el papel del dominio integral; esta construcción se puede aplicar a cualquier rng conmutativo distinto de cero sin divisores distintos de cero . La incrustación viene dada por para cualquier distinto de cero . [1]
Ejemplos de
- El campo de las fracciones del anillo de los enteros es el campo de los racionales ,.
- Dejar sea el anillo de los enteros gaussianos . Luego, el campo de los racionales gaussianos .
- El campo de fracciones de un campo es canónicamente isomorfo al campo mismo.
- Dado un campo , el campo de fracciones del anillo polinomial en uno indeterminado (que es un dominio integral), se llama campo de funciones racionales ocampo de fracciones racionales [2] [3] [4] y se denota.
Generalizaciones
Localización
Para cualquier anillo conmutativo y cualquier conjunto multiplicativo en , la localización es el anillo conmutativo que consta de fracciones
con y , donde ahora es equivalente a si y solo si existe tal que .
Dos casos especiales de esto son notables:
- Si es el complemento de un ideal primo , luego también se denota .
Cuándoes un dominio integral y es el ideal cero, es el campo de fracciones de . - Si es el conjunto de divisores distintos de cero en, luego se llama anillo del cociente total .
El anillo del cociente total de un dominio integral es su campo de fracciones , pero el anillo del cociente total se define para cualquier anillo conmutativo .
Tenga en cuenta que está permitido para para contener 0, pero en ese caso será el anillo trivial .
Semicampo de fracciones
El semicampo de fracciones de un semirector conmutativo sin divisores de cero es el semicampo más pequeño en el que se puede incrustar .
Los elementos del semicampo de fracciones del semirrígido conmutativo ¿Las clases de equivalencia están escritas como
con y en .
Ver también
- Condición del mineral ; condición relacionada con la construcción de fracciones en el caso no conmutativo.
- Línea proyectiva sobre un anillo ; estructura alternativa no limitada a dominios integrales.
Referencias
- ^ Hungerford, Thomas W. (1980). Álgebra (3ª ed. Revisada). Nueva York: Springer. págs. 142-144. ISBN 3540905189.
- ^ Ėrnest Borisovich Vinberg (2003). Un curso de álgebra . pag. 131.
- ^ Stephan Foldes (1994). Estructuras fundamentales de álgebra y matemáticas discretas . John Wiley e hijos. pag. 128 .
- ^ Pierre Antoine Grillet (2007). Álgebra abstracta . pag. 124.