Alternativamente, podemos expresar el modelo de Gent en la forma
![{\displaystyle W=C_{0}\ln \left(1-{\cfrac {I_{1}-3}{J_{m}}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para que el modelo sea consistente con la elasticidad lineal , se debe cumplir la siguiente condición :
![{\displaystyle 2{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}(3)=\mu }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es el módulo de corte del material. Ahora en
,
![{\displaystyle {\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=-{\cfrac {C_{0}}{J_{m}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto, la condición de consistencia para el modelo de Gent es
![{\displaystyle -{\cfrac {2C_{0}}{J_{m}}}=\mu \,\qquad \implies \qquad C_{0}=-{\cfrac {\mu J_{m}}{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El modelo de Gent asume que
La tensión de Cauchy para el modelo incompresible de Gent viene dada por
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+2~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}~{\boldsymbol {B}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Extensión uniaxial
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Curvas de tensión-deformación bajo extensión uniaxial para el modelo de Gent en comparación con varios modelos de materiales hiperelásticos.
Para extensión uniaxial en el
-dirección, los tramos principales son
. De la incompresibilidad
. Por eso
. Por lo tanto,
![{\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {2}{\lambda }}~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo se puede expresar como
![\boldsymbol{B} = \lambda^2~\mathbf{n}_1\otimes\mathbf{n}_1 + \cfrac{1}{\lambda}~(\mathbf{n}_2\otimes\mathbf{n}_2+\mathbf{n}_3\otimes\mathbf{n}_3) ~.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si las direcciones de los tramos principales están orientadas con los vectores de base de coordenadas, tenemos
![{\displaystyle \sigma _{11}=-p+{\cfrac {\lambda ^{2}\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}~;~~\sigma _{22}=-p+{\cfrac {\mu J_{m}}{\lambda (J_{m}-I_{1}+3)}}=\sigma _{33}~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si
, tenemos
![{\displaystyle p={\cfrac {\mu J_{m}}{\lambda (J_{m}-I_{1}+3)}}~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto,
![{\displaystyle \sigma _{11}=\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La tensión de la ingeniería es
. El estrés de ingeniería es
![{\displaystyle T_{11}=\sigma _{11}/\lambda =\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Extensión equibiaxial
Para la extensión equibiaxial en el
y
direcciones, los tramos principales son
. De la incompresibilidad
. Por eso
. Por lo tanto,
![I_1 = \lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2 = 2~\lambda^2 + \cfrac{1}{\lambda^4} ~.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo se puede expresar como
![\boldsymbol{B} = \lambda^2~\mathbf{n}_1\otimes\mathbf{n}_1 + \lambda^2~\mathbf{n}_2\otimes\mathbf{n}_2+ \cfrac{1}{\lambda^4}~\mathbf{n}_3\otimes\mathbf{n}_3 ~.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si las direcciones de los tramos principales están orientadas con los vectores de base de coordenadas, tenemos
![{\displaystyle \sigma _{11}=\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)=\sigma _{22}~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La tensión de la ingeniería es
. El estrés de ingeniería es
![{\displaystyle T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{5}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)=T_{22}~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Extensión plana
Los ensayos de extensión plana se llevan a cabo en muestras delgadas que no pueden deformarse en una dirección. Para extensión plana en el
direcciones con el
dirección restringida, los tramos principales son
. De la incompresibilidad
. Por eso
. Por lo tanto,
![I_1 = \lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2 = \lambda^2 + \cfrac{1}{\lambda^2} + 1 ~.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo se puede expresar como
![\boldsymbol{B} = \lambda^2~\mathbf{n}_1\otimes\mathbf{n}_1 + \cfrac{1}{\lambda^2}~\mathbf{n}_2\otimes\mathbf{n}_2+ \mathbf{n}_3\otimes\mathbf{n}_3 ~.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si las direcciones de los tramos principales están orientadas con los vectores de base de coordenadas, tenemos
![{\displaystyle \sigma _{11}=\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~;~~\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{33}=\left(1-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La tensión de la ingeniería es
. El estrés de ingeniería es
![{\displaystyle T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cizalla simple
El gradiente de deformación para una deformación cortante simple tiene la forma [3]
![\boldsymbol{F} = \boldsymbol{1} + \gamma~\mathbf{e}_1\otimes\mathbf{e}_2](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
son vectores de base ortonormales de referencia en el plano de deformación y la deformación por cortante está dada por
![\gamma = \lambda - \cfrac{1}{\lambda} ~;~~ \lambda_1 = \lambda ~;~~ \lambda_2 = \cfrac{1}{\lambda} ~;~~ \lambda_3 = 1](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En forma de matriz, el gradiente de deformación y el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo se pueden expresar como
![\boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} 1 & \gamma & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ~;~~ \boldsymbol{B} = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}^T = \begin{bmatrix} 1+\gamma^2 & \gamma & 0 \\ \gamma & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto,
![{\displaystyle I_{1}=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {B}})=3+\gamma ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y el estrés de Cauchy viene dado por
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-\gamma ^{2}}}~{\boldsymbol {B}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En forma de matriz,
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}-p+{\cfrac {\mu J_{m}(1+\gamma ^{2})}{J_{m}-\gamma ^{2}}}&{\cfrac {\mu J_{m}\gamma }{J_{m}-\gamma ^{2}}}&0\\{\cfrac {\mu J_{m}\gamma }{J_{m}-\gamma ^{2}}}&-p+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-\gamma ^{2}}}&0\\0&0&-p+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-\gamma ^{2}}}\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)