Un sólido neohookeano [1] es un modelo de material hiperelástico , similar a la ley de Hooke , que se puede utilizar para predecir el comportamiento tensión-deformación no lineal de materiales que sufren grandes deformaciones . El modelo fue propuesto por Ronald Rivlin en 1948. A diferencia de los materiales elásticos lineales , la curva de tensión-deformación de un material neo-Hookeano no es lineal . En cambio, la relación entre la tensión aplicada y la deformación es inicialmente lineal, pero en cierto punto la curva de tensión-deformación se estabilizará. El modelo neo-hookeano no tiene en cuenta la disipación liberación de energía en forma de calor mientras se estira el material y se asume una elasticidad perfecta en todas las etapas de deformación.
El modelo neo-Hookean se basa en la termodinámica estadística de cadenas de polímeros reticulados y se puede utilizar para plásticos y sustancias similares al caucho . Los polímeros reticulados actuarán de una manera neohookeana porque inicialmente las cadenas de polímero pueden moverse entre sí cuando se aplica una tensión. Sin embargo, en un cierto punto, las cadenas de polímero se estirarán hasta el punto máximo que permitan los enlaces cruzados covalentes, y esto provocará un aumento espectacular del módulo elástico del material. El modelo de material neo-Hookeano no predice ese aumento en el módulo a grandes deformaciones y normalmente es preciso solo para deformaciones inferiores al 20%. [2] El modelo también es inadecuado para estados biaxiales de tensión y ha sido reemplazado por el modelo de Mooney-Rivlin .
La función de densidad de energía de deformación para un material neo-Hookeano incompresible en una descripción tridimensional es
dónde es una constante material, y es el primer invariante ( traza ), del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho , es decir,
dónde son los tramos principales . [1]
Para un material neo-Hookeano compresible , la función de densidad de energía de deformación está dada por
dónde es una constante material y es el gradiente de deformación . Se puede demostrar que en 2D, la función de densidad de energía de deformación es
Existen varias formulaciones alternativas para materiales neo-Hookeanos compresibles, por ejemplo
dónde es el primer invariante de la parte isocóricadel tensor de deformación de Cauchy-Green derecho .
Para mantener la coherencia con la elasticidad lineal,
dónde es el módulo de corte o los primeros parámetros de Lamé yes el módulo de volumen . [3]
Esfuerzo de Cauchy en términos de tensores de deformaciónMaterial neo-Hookeano comprimible
Para un material compresible Rivlin neo-Hookean, la tensión de Cauchy está dada por
dónde es el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo, y
Para cepas infinitesimales ()
y el estrés de Cauchy se puede expresar como
La comparación con la ley de Hooke muestra que y .
Prueba: |
---|
La tensión de Cauchy en un material hiperelástico compresible está dada por
Para un material neo-Hookeano Rivlin comprimible,
mientras que, para un material compresible neohookeano Ogden,
Por lo tanto, la tensión de Cauchy en un material neo-Hookeano Rivlin comprimible viene dada por
mientras que para el material Ogden correspondiente es
Si la parte isocórica del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo se define como, entonces podemos escribir el estrés de Rivlin neo-Heooken como
y el estrés neohookeano de Ogden como
Las cantidades
tienen la forma de presiones y suelen ser tratados como tales. El estrés neo-Hookeano de Rivlin se puede expresar en la forma
mientras que el estrés neohookeano de Ogden tiene la forma
|
Material neo-Hookeano incompresible
Para un material neo-hookeano incompresible con
dónde es una presión indeterminada.
Estrés de Cauchy en términos de tramos principalesMaterial neo-Hookeano comprimible
Para un material hiperelástico neo-Hookeano compresible , los componentes principales de la tensión de Cauchy están dados por
Por lo tanto, las diferencias entre las tensiones principales son
Prueba: |
---|
Para un material hiperelástico compresible , los componentes principales de la tensión de Cauchy están dados por
La función de densidad de energía de deformación para un material neo Hookean compresible es
Por lo tanto,
Desde tenemos
Por eso,
Por tanto, las principales tensiones de Cauchy están dadas por
|
Material neo-Hookeano incompresible
En términos de los tramos principales , las diferencias de tensión de Cauchy para un material hiperelástico incompresible están dadas por
Para un material neo-hookeano incompresible ,
Por lo tanto,
lo que da
Extensión uniaxialMaterial neo-Hookeano comprimible
La tensión verdadera en función del estiramiento uniaxial predicho por un material neo-Hookeano compresible para varios valores de
. Las propiedades del material son representativas del
caucho natural .
Para un material compresible que experimenta una extensión uniaxial, los estiramientos principales son
Por lo tanto, las tensiones verdaderas (de Cauchy) para un material neo-Hookeano compresible están dadas por
Las diferencias de estrés están dadas por
Si el material no está restringido, tenemos . Luego
Igualando las dos expresiones para da una relación para como una función de , es decir,
o
La ecuación anterior se puede resolver numéricamente usando un procedimiento iterativo de búsqueda de raíces de Newton-Raphson .
Material neo-Hookeano incompresible
Bajo extensión uniaxial, y . Por lo tanto,
Suponiendo que no haya tracción en los lados, , para que podamos escribir
dónde es la cepa de la ingeniería . Esta ecuación a menudo se escribe en notación alternativa como
La ecuación anterior es para la tensión verdadera (relación entre la fuerza de alargamiento y la sección transversal deformada). Para el esfuerzo de ingeniería, la ecuación es:
Para pequeñas deformaciones tendremos:
Por lo tanto, el módulo de Young equivalente de un sólido neohookeano en extensión uniaxial es, que está en concordancia con la elasticidad lineal ( con por incompresibilidad).
Extensión equibiaxialMaterial neo-Hookeano comprimible
La tensión verdadera en función del estiramiento biaxial predicho por un material neo-Hookeano compresible para varios valores de
. Las propiedades del material son representativas del
caucho natural .
En el caso de extensión equibiaxial
Por lo tanto,
Las diferencias de estrés son
Si el material está en un estado de tensión plana, entonces y tenemos
También tenemos una relación entre y :
o,
Esta ecuación se puede resolver para utilizando el método de Newton.
Material neo-Hookeano incompresible
Por un material incompresible y las diferencias entre las principales tensiones de Cauchy toman la forma
En condiciones de estrés plano tenemos
Dilatación puraPara el caso de dilatación pura
Por lo tanto, las tensiones principales de Cauchy para un material neohookeano compresible están dadas por
Si el material es incompresible entonces y las tensiones principales pueden ser arbitrarias.
Las figuras siguientes muestran que se necesitan tensiones extremadamente altas para lograr grandes extensiones o compresiones triaxiales. De manera equivalente, estados de estiramiento triaxial relativamente pequeños pueden causar que se desarrollen tensiones muy altas en un material similar al caucho. La magnitud de la tensión es bastante sensible al módulo volumétrico pero no al módulo cortante.
La tensión verdadera en función del estiramiento equi-triaxial predicho por un material neo-Hookeano compresible para varios valores de . Las propiedades del material son representativas del caucho natural . | La tensión verdadera en función de J predicha por un material neo-Hookeano compresible para varios valores de . Las propiedades del material son representativas del caucho natural . |
Cizalla simpleReferencias- ↑ a b c Ogden, RW (26 de abril de 2013). Deformaciones elásticas no lineales . Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-31871-4.
- ^ Gent, AN, ed., 2001, Ingeniería con caucho , Carl Hanser Verlag, Munich.
- ^ Pence, TJ y Gou, K. (2015). Sobre versiones comprimibles del incompresible material neo-hookeano. Matemáticas y mecánica de sólidos , 20 (2), 157-182. [1]
Ver también- Material hiperelástico
- Función de densidad de energía de deformación
- Sólido Mooney-Rivlin
- Teoría de la deformación finita
- Medidas de estrés