En la geometría algebraica clásica , la fórmula género-grado relaciona el grado d de una curva plana irreduciblecon su género aritmético g mediante la fórmula:
Aquí "curva plana" significa que es una curva cerrada en el plano proyectivo . Si la curva no es singular, el género geométrico y el género aritmético son iguales, pero si la curva es singular, con solo singularidades ordinarias, el género geométrico es más pequeño. Más precisamente, una singularidad ordinaria de multiplicidad r disminuye el género en. [1]
Prueba
La prueba se deriva inmediatamente de la fórmula adjunta . [ aclaración necesaria ] Para una prueba clásica, consulte el libro de Arbarello, Cornalba, Griffiths y Harris.
Generalización
Para una hipersuperficie no singular de grado d en el espacio proyectivo del género aritmético g la fórmula se convierte en:
dónde es el coeficiente binomial .
Notas
- ^ Semple, John Greenlees ; Roth, Leonard . Introducción a la geometría algebraica (ed. 1985). Prensa de la Universidad de Oxford . págs. 53–54. ISBN 0-19-853363-2. Señor 0814690 .
Ver también
Referencias
- Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium " Fórmula de grado de género ", que está bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .
- Enrico Arbarello , Maurizio Cornalba, Phillip Griffiths , Joe Harris . Geometría de curvas algebraicas. vol. 1 Springer, ISBN 0-387-90997-4 , apéndice A.
- Phillip Griffiths y Joe Harris , Principios de geometría algebraica, Wiley, ISBN 0-471-05059-8 , capítulo 2, sección 1.
- Robin Hartshorne (1977): geometría algebraica , Springer, ISBN 0-387-90244-9 .
- Kulikov, Viktor S. (2001) [1994], "Género de una curva" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press