En matemáticas , una curva algebraica suave en el plano proyectivo complejo , de grado, tiene género dado por la fórmula género-grado
- .
La conjetura de Thom , que lleva el nombre del matemático francés René Thom , establece que sies cualquier curva conectada suavemente incrustada que representa la misma clase en homología que, luego el género de satisface la desigualdad
- .
En particular, C se conoce como un género que minimiza el representante de su clase de homología. Fue probado por primera vez por Peter Kronheimer y Tomasz Mrowka en octubre de 1994, [1] utilizando los entonces nuevos invariantes de Seiberg-Witten .
Asumiendo que tiene no negativo auto número de intersección esto se generaliza a colectores Kähler (siendo un ejemplo el plano proyectivo complejo) por John Morgan , Zoltán Szabó , y Clifford Taubes , [2] utilizando también los invariantes Seiberg-Witten.
Hay al menos una generalización de esta conjetura, conocida como la conjetura simpléctica de Thom (que ahora es un teorema, como lo demostraron, por ejemplo, Peter Ozsváth y Szabó en 2000 [3] ). Afirma que una superficie simpléctica de una variedad 4 simpléctica es un género minimizador dentro de su clase de homología. Esto implicaría el resultado anterior porque las curvas algebraicas (dimensión compleja 1, dimensión real 2) son superficies simplécticas dentro del plano proyectivo complejo, que es una variedad 4 simpléctica.
Ver también
Referencias
- ^ Kronheimer, Peter B .; Mrowka, Tomasz S. (1994). "El género de superficies incrustadas en el plano proyectivo" . Cartas de investigación matemática . 1 (6): 797–808. doi : 10.4310 / mrl.1994.v1.n6.a14 .
- ^ Morgan, John ; Szabó, Zoltán ; Taubes, Clifford (1996). "Una fórmula de producto para los invariantes de Seiberg-Witten y la conjetura generalizada de Thom" . Revista de geometría diferencial . 44 (4): 706–788. doi : 10.4310 / jdg / 1214459408 . Señor 1438191 .
- ^ Ozsváth, Peter ; Szabó, Zoltán (2000). "La conjetura simpléctica de Thom". Annals of Mathematics . 151 (1): 93-124. arXiv : matemáticas.DG / 9811087 . doi : 10.2307 / 121113 . JSTOR 121113 .