En geometría algebraica , un anillo geométricamente regular es un anillo noetheriano sobre un campo que permanece como un anillo regular después de cualquier extensión finita del campo base. Los esquemas geométricamente regulares se definen de manera similar. En terminología más antigua, los puntos con anillos locales regulares se llamaban puntos simples , y los puntos con anillos locales geométricamente regulares se llamaban puntos absolutamente simples . Sobre los campos que son de característica 0, o algebraicamente cerrados, o más generalmente perfectos , los anillos geométricamente regulares son lo mismo que los anillos regulares. La regularidad geométrica se originó cuando Claude Chevalleyy André Weil señaló a Oscar Zariski ( 1947 ) que, sobre campos no perfectos, el criterio jacobiano para un punto simple de una variedad algebraica no equivale a la condición de que el anillo local sea regular.
Un anillo local noetheriano que contiene un campo k es geométricamente regular sobre k si y solo si es formalmente suave sobre k .
Ejemplos de
Zariski (1947) dio los siguientes dos ejemplos de anillos locales que son regulares pero no geométricamente regulares.
- Suponga que k es un campo de característica p > 0 y que a es un elemento de k que no es una p- ésima potencia. Entonces cada punto de la curva x p + y p = a es regular. Sin embargo, sobre el campo k [ a 1 / p ], cada punto de la curva es singular. Entonces, los puntos de esta curva son regulares pero no geométricamente regulares.
- En el ejemplo anterior, la ecuación que define la curva se vuelve reducible sobre una extensión finita del campo base. Ésta no es la causa real del fenómeno: Chevalley le señaló a Zariski que la curva x p + y 2 = a (con la notación del ejemplo anterior) es absolutamente irreductible pero aún tiene un punto que es regular pero no geométricamente regular.
Ver también
Referencias
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 24 . doi : 10.1007 / bf02684322 . Señor 0199181 .
- Zariski, Oscar (1947), "El concepto de un punto simple de una variedad algebraica abstracta", Transactions of the American Mathematical Society , 62 : 1-52, doi : 10.1090 / s0002-9947-1947-0021694-1 , JSTOR 1990628 , MR 0021694