Espectro de un anillo

En álgebra conmutativa , el espectro primo (o simplemente el espectro ) de un anillo R es el conjunto de todos los ideales primos de R , y generalmente se denota por ; ^[1] en geometría algebraica es simultáneamente un espacio topológico equipado con el haz de anillos . ^[2] ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} {R}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}}$

Para cualquier ideales I de R , definir como el conjunto de ideales primos que contienen I . Podemos poner una topología definiendo la colección de conjuntos cerrados como ${\ Displaystyle V_ {I}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

Se puede construir una base para la topología de Zariski de la siguiente manera. Para f ∈ R , defina D _f como el conjunto de ideales primos de R que no contienen f . Entonces cada D _f es un subconjunto abierto de , y es una base para la topología de Zariski. ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$ ${\ Displaystyle \ {D_ {f}: f \ in R \}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$ Es un espacio compacto , pero casi nunca Hausdorff : de hecho, los ideales máximos en R son precisamente los puntos cerrados en esta topología. Por el mismo razonamiento, no es, en general, un espacio T ₁ . ^[3] Sin embargo, es siempre un espacio de Kolmogorov (satisface el axioma T ₀ ); también es un espacio espectral . ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

Dado el espacio con la topología de Zariski, la estructura de la gavilla O _X se define en los subconjuntos abiertos distinguidos D _f estableciendo Γ ( D _f , O _X ) = R _f , la localización de R por las potencias de f . Se puede demostrar que esto define una gavilla B y, por lo tanto, que define una gavilla. Con más detalle, los subconjuntos abiertos distinguidos son una base de la topología de Zariski, por lo que para un conjunto abierto arbitrario U , escrito como la unión de { D _fi } _i ${\ Displaystyle X = \ operatorname {Spec} (R)}$ _{∈ I} , establecemos Γ ( U , O _X ) = lim _{i ∈ I} R _fi . Se puede comprobar que esta gavilla es una gavilla, por lo que es un espacio anillado . Cualquier espacio anillado isomorfo a una de estas formas se denomina esquema afín . Los esquemas generales se obtienen pegando esquemas afines. ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

De manera similar, para un módulo M sobre el anillo R , podemos definir una gavilla en . En los subconjuntos abiertos distinguidos, establezca Γ ( D _f , ) = M _f , utilizando la localización de un módulo . Como se indicó anteriormente, esta construcción se extiende a una gavilla previa en todos los subconjuntos abiertos y satisface los axiomas de encolado. Una gavilla de esta forma se llama gavilla cuasicoherente . ${\ Displaystyle {\ tilde {M}}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {M}}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$