En matemáticas , un espacio anillado es una familia de anillos ( conmutativos ) parametrizados por subconjuntos abiertos de un espacio topológico junto con homomorfismos anulares que desempeñan funciones de restricción . Precisamente, se trata de un espacio topológico dotado de un haz de anillos denominado haz de estructura . Es una abstracción del concepto de anillos de funciones continuas (con valores escalares) en subconjuntos abiertos.
Entre los espacios anillados, especialmente importante y prominente es un espacio anillado localmente : un espacio anillado en el que la analogía entre el tallo en un punto y el anillo de gérmenes de funciones en un punto es válida.
Los espacios anillados aparecen en el análisis , así como la geometría algebraica compleja y la teoría de esquemas de la geometría algebraica .
Nota : En la definición de un espacio anillado, la mayoría de las exposiciones tienden a restringir los anillos para que sean anillos conmutativos , incluidos Hartshorne y Wikipedia. " Éléments de géométrie algébrique ", por otro lado, no impone el supuesto de conmutatividad, aunque el libro considera mayoritariamente el caso conmutativo. [1]
Definiciones
Un espacio anillado es un espacio topológico junto con un fajo de anillos en . La gavillase llama la estructura gavilla de.
Un espacio anillado localmente es un espacio anilladotal que todos los tallos deson anillos locales (es decir, tienen ideales máximos únicos ). Tenga en cuenta que se no se requiere que ser un anillo local para cada set abierto ; de hecho, este casi nunca es el caso.
Ejemplos de
Un espacio topológico arbitrario puede considerarse un espacio anillado localmente tomando ser el haz de funciones continuas de valor real (o de valor complejo ) en subconjuntos abiertos de. El tallo en un puntopuede pensarse como el conjunto de todos los gérmenes de funciones continuas en; este es un anillo local con el ideal máximo único que consiste en aquellos gérmenes cuyo valor en es .
Si es una variedad con alguna estructura extra, también podemos tomar el conjunto de funciones diferenciables o analíticas complejas . Ambos dan lugar a espacios anillados localmente.
Si es una variedad algebraica que lleva la topología de Zariski , podemos definir un espacio anillado localmente tomandoser el anillo de asignaciones racionales definidas en el conjunto abierto de Zariski que no explotan (se vuelven infinitos) dentro . La generalización importante de este ejemplo es la del espectro de cualquier anillo conmutativo; estos espectros también son espacios anillados localmente. Los esquemas son espacios anillados localmente obtenidos "pegando juntos" espectros de anillos conmutativos.
Morfismos
Un morfismo de a es un par , dónde es un mapa continuo entre los espacios topológicos subyacentes, yes un morfismo de la estructura del haz dea la imagen directa de la gavilla estructura de la X . En otras palabras, un morfismo de a viene dado por los siguientes datos:
- un mapa continuo
- una familia de homomorfismos de anillo por cada set abierto de que se desplazan con los mapas de restricción. Es decir, si son dos subconjuntos abiertos de , entonces el siguiente diagrama debe conmutar (los mapas verticales son los homomorfismos de restricción):
Existe un requisito adicional para los morfismos entre espacios anillados localmente :
- los homomorfismos de anillo inducidos por entre los tallos de y los tallos de deben ser homomorfismos locales , es decir, para cada el ideal máximo del anillo local (tallo) en se asigna al ideal máximo del anillo local en .
Se pueden componer dos morfismos para formar un nuevo morfismo, y obtenemos la categoría de espacios anillados y la categoría de espacios anillados localmente. Los isomorfismos en estas categorías se definen como de costumbre.
Espacios tangentes
Los espacios anillados localmente tienen la estructura suficiente para permitir la definición significativa de espacios tangentes . Dejar Ser espacio anillado localmente con estructura de gavilla. ; queremos definir el espacio tangente en el punto . Toma el anillo local (acecho) en el punto , con máximo ideal . Luegoes un campo yes un espacio vectorial sobre ese campo (el espacio cotangente ). El espacio tangentese define como el dual de este espacio vectorial.
La idea es la siguiente: un vector tangente en debería decirle cómo "diferenciar" "funciones" en , es decir, los elementos de . Ahora basta con saber diferenciar funciones cuyo valor enes cero, ya que todas las demás funciones difieren de estas solo por una constante, y sabemos cómo diferenciar las constantes. Entonces solo tenemos que considerar. Además, si se dan dos funciones con valor cero en, entonces su producto tiene derivada 0 en , por la regla del producto . Así que solo necesitamos saber cómo asignar "números" a los elementos de, y esto es lo que hace el espacio dual.
-módulos
Dado un espacio anillado localmente , ciertos haces de módulos en ocurren en las aplicaciones, el -módulos. Para definirlos, considere un haz F de grupos abelianos en. Si F ( U ) es un módulo sobre el anillo por cada set abierto en , y los mapas de restricción son compatibles con la estructura del módulo, entonces llamamos un -módulo. En este caso, el tallo de a será un módulo sobre el anillo local (tallo) , para cada .
Un morfismo entre dos tales -modules es un morfismo de poleas que es compatible con las estructuras de módulo dadas. La categoría de-módulos sobre un espacio anillado localmente fijo es una categoría abeliana .
Una subcategoría importante de la categoría de -modules es la categoría de poleas cuasi coherentes en. Un haz de-modules se llama cuasi-coherente si es, localmente, isomorfo al cokernel de un mapa entre -módulos. Una gavilla coherente es una gavilla casi coherente que es, localmente, de tipo finito y para cada subconjunto abierto de el núcleo de cualquier morfismo de un libre -módulos de rango finito a también es de tipo finito.
Citas
- ↑ EGA, Ch 0, 4.1.1.
Referencias
- Sección 0.4 de Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007 / bf02684778 . Señor 0217083 .
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
enlaces externos
- Onishchik, AL (2001) [1994], "Espacio anillado" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press