Variedad globalmente hiperbólica

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En física matemática , la hiperbolicidad global es una determinada condición de la estructura causal de una variedad espaciotemporal (es decir, una variedad Lorentziana). Se llama hiperbólico porque la condición fundamental que genera la variedad de Lorentz es

• ${\displaystyle t^{2}-r^{2}=T^{2}}$

(siendo tyr las variables habituales de tiempo y radio) que es una de las ecuaciones habituales que representan una hipérbola . Pero esta expresión solo es verdadera en relación con el origen ordinario; A continuación, este artículo describe las bases para generalizar el concepto a cualquier par de puntos en el espacio-tiempo. Esto es relevante para la teoría de la relatividad general de Albert Einstein y potencialmente para otras teorías gravitacionales métricas.

Definiciones

Hay varias definiciones equivalentes de hiperbolicidad global. Sea M una variedad de Lorentzian conectada uniformemente sin límite. Hacemos las siguientes definiciones preliminares:

• M no es totalmente vicioso si hay al menos un punto tal que ninguna curva cerrada en forma de tiempo pasa a través de él.
• M es causal si no tiene curvas causales cerradas.
• M es encarcelamiento no total si no hay una curva causal inextensible contenida en un conjunto compacto. Esta propiedad implica causalidad.
• M está fuertemente causal si para cada punto p y cualquier vecindad U de p existe un entorno causalmente convexa V de p contenida en U , donde los medios de convexidad causal que cualquier curva causal con puntos finales en V está contenido totalmente en V . Esta propiedad implica prisión no total.
• Dado cualquier punto p en M , [resp. ] es la colección de puntos a los que puede llegar un [resp. dirigida al pasado] curva causal continua a partir de la p .${\displaystyle J^{+}(p)}$${\displaystyle J^{-}(p)}$
• Dado un subconjunto S de M , el dominio de la dependencia de S es el conjunto de todos los puntos p en M tal que cada curva causal inextensible a través de P intersecta S .
• Un subconjunto S de M es acronal si ninguna curva temporal se cruza con S más de una vez.
• Una superficie de Cauchy para M es un conjunto ácrona cerrado cuyo dominio de la dependencia es M .

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. El espacio-tiempo es causal, y para cada par de puntos p y q en M , el espacio de futuro continua dirigida curvas causales de p a q es compacto en la topología.${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}$
2. El espacio-tiempo tiene una superficie de Cauchy.
3. El espacio-tiempo es causal, y para cada par de puntos p y q en M , el subconjunto es compacto.${\displaystyle J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$
4. El espacio-tiempo es encarcelamiento no total y para cada par de puntos p y q en M , el subconjunto está contenida en un conjunto compacto (es decir, su cierre es compacto).${\displaystyle {J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}}$

Si se cumple alguna de estas condiciones, decimos que M es globalmente hiperbólico . Si M es una variedad de Lorentzian conectada uniformemente con límite, decimos que es globalmente hiperbólica si su interior es globalmente hiperbólico.

Otras caracterizaciones equivalentes de hiperbolicidad global hacen uso de la noción de distancia de Lorentz, donde el supremo se toma sobre todas las curvas causales que conectan los puntos (por convención d = 0 si no existe tal curva). Ellos son${\displaystyle d(p,q):=\sup _{\gamma }l(\gamma )}$${\displaystyle C^{1}}$

• Un espacio-tiempo fuertemente causal para el que se valora de forma finita. ^[1]${\displaystyle d}$
• Un espacio-tiempo aprisionante no total tal que es continuo para cada elección métrica en la clase conforme de la métrica original.${\displaystyle d}$

Observaciones

La hiperbolicidad global, en la primera forma dada anteriormente, fue introducida por Leray ^[2] con el fin de considerar la buena posición del problema de Cauchy para la ecuación de onda en la variedad. En 1970 Geroch ^[3] demostró la equivalencia de las definiciones 1 y 2. La definición 3 bajo el supuesto de causalidad fuerte y su equivalencia con las dos primeras fue dada por Hawking y Ellis. ^[4]

Como se mencionó, en la literatura más antigua, la condición de causalidad en la primera y tercera definiciones de hiperbolicidad global dadas anteriormente es reemplazada por la condición más fuerte de causalidad fuerte . En 2007, Bernal y Sánchez ^[5] demostraron que la condición de causalidad fuerte puede ser reemplazada por causalidad. En particular, cualquier variedad hiperbólica global como se define en 3 es fuertemente causal. Más tarde, Hounnonkpe y Minguzzi ^[6] demostraron que para espaciotiempos bastante razonables, más precisamente aquellos de dimensión mayor a tres que no son compactos o no totalmente viciosos, la condición "causal" puede ser eliminada de la definición 3.

En la definición 3, el cierre de parece fuerte (de hecho, los cierres de los conjuntos implican simplicidad causal , el nivel de la jerarquía causal de los espaciotiempos ^[7] que se mantiene justo por debajo de la hiperbolicidad global). Es posible remediar este problema fortaleciendo la condición de causalidad como en la definición 4 propuesta por Minguzzi ^[8]${\displaystyle J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$${\displaystyle J^{\pm }(p)}$en 2009. Esta versión aclara que la hiperbolicidad global establece una condición de compatibilidad entre la relación causal y la noción de compacidad: todo diamante causal está contenido en un conjunto compacto y toda curva causal inextensible escapa a conjuntos compactos. Observe que cuanto más grande es la familia de conjuntos compactos, más fácil es que los diamantes causales queden contenidos en un conjunto compacto, pero es más difícil que las curvas causales escapen de conjuntos compactos. Así, la hiperbolicidad global establece un equilibrio sobre la abundancia de conjuntos compactos en relación con la estructura causal. Dado que las topologías más finas tienen conjuntos menos compactos, también podemos decir que el equilibrio está en el número de conjuntos abiertos dada la relación causal. La definición 4 también es robusta ante perturbaciones de la métrica (que en principio podría introducir curvas causales cerradas).De hecho, usando esta versión se ha demostrado que la hiperbolicidad global es estable bajo perturbaciones métricas.^[9]

En 2003, Bernal y Sánchez ^[10] demostraron que cualquier variedad hiperbólica global M tiene una superficie de Cauchy tridimensional incrustada lisa y, además, que dos superficies de Cauchy cualesquiera para M son difeomórficas. En particular, M es difeomórfico al producto de una superficie de Cauchy con . Anteriormente era bien sabido que cualquier superficie de Cauchy de una variedad globalmente hiperbólica es una subvariedad tridimensional incrustada , dos cualesquiera de las cuales son homeomórficas, y tal que la variedad se divide topológicamente como el producto de la superficie de Cauchy y . En particular, una variedad globalmente hiperbólica es foliada por superficies de Cauchy.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

En vista de la formulación del valor inicial para las ecuaciones de Einstein, se considera que la hiperbolicidad global es una condición muy natural en el contexto de la relatividad general, en el sentido de que, dados los datos iniciales arbitrarios, existe una única solución máxima globalmente hiperbólica de las ecuaciones de Einstein.

Ver también

• Condiciones de causalidad
• Estructura causal
• Cono de luz

Referencias

1. JK Beem, PE Ehrlich y KL Easley, "Geometría de Lorentzian global". Nueva York: Marcel Dekker Inc. (1996).
2. Jean Leray, "Ecuaciones diferenciales hiperbólicas". Notas mimeografiadas, Princeton, 1952.
3. Robert P. Geroch, "Dominio de dependencia", Revista de física matemática 11 , (1970) 437, 13pp
4. Stephen Hawking y George Ellis, "La estructura a gran escala del espacio-tiempo". Cambridge: Cambridge University Press (1973).
5. Antonio N. Bernal y Miguel Sánchez, "Los espaciotiempos globalmente hiperbólicos pueden definirse como 'causales' en lugar de 'fuertemente causales'", Classical and Quantum Gravity 24 (2007), no. 3, 745–749 [1]
6. Raymond N. Hounnonkpe y Ettore Minguzzi, "Los espaciotiempos globalmente hiperbólicos pueden definirse sin la condición 'causal'", Classical and Quantum Gravity 36 (2019), 197001 [2]
7. E. Minguzzi y M. Sánchez, "La jerarquía causal de los espaciotiempos", en Desarrollos recientes en la geometría pseudo-Riemanniana de ESI Lect. Matemáticas. Phys., Editado por H. Baum y D. Alekseevsky (Editorial de la Sociedad Europea de Matemáticas (EMS), Zúrich, 2008), p. 299 [3]
8. Ettore Minguzzi, "Caracterización de algunas condiciones de causalidad a través de la continuidad de la distancia de Lorentz", Journal of Geometry and Physics 59 (2009), 827-833 [4]
9. JJ Benavides Navarro y E. Minguzzi, "La hiperbolicidad global es estable en la topología de intervalo", Journal of Mathematical Physics 52 (2011), 112504 [5]
10. Antonio N. Bernal y Miguel Sánchez, "Sobre hipersuperficies suaves de Cauchy y teorema de división de Geroch", Comunicaciones en Física Matemática 243 (2003), no. 3, 461–470 [6]

• Hawking, Stephen; Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-09906-4.
• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago . ISBN 0-226-87033-2.