En el estudio de los múltiples espaciotiempos de Lorentz existe una jerarquía de condiciones de causalidad que son importantes para probar los teoremas matemáticos sobre la estructura global de tales variedades. Estas condiciones se recopilaron a fines de la década de 1970. [1]
Cuanto más débil es la condición de causalidad en un espacio-tiempo, menos físico es el espacio-tiempo. Los espaciotiempos con curvas temporales cerradas , por ejemplo, presentan graves dificultades interpretativas. Vea la paradoja del abuelo .
Es razonable creer que cualquier espacio-tiempo físico satisfará la condición de causalidad más fuerte: la hiperbolicidad global . Para tales espaciotiempos, las ecuaciones de la relatividad general pueden plantearse como un problema de valor inicial en una superficie de Cauchy .
La jerarquía
Existe una jerarquía de condiciones de causalidad, cada una de las cuales es estrictamente más fuerte que la anterior. A esto a veces se le llama la escalera causal . Las condiciones, de la más débil a la más fuerte, son:
- No totalmente vicioso
- Cronológico
- Causal
- Distintivo
- Fuertemente causal
- Estable causal
- Causalmente continuo
- Causalmente simple
- Globalmente hiperbólico
Se dan las definiciones de estas condiciones de causalidad para una variedad de Lorentz. . Cuando se dan dos o más, son equivalentes.
Notación :
- denota la relación cronológica .
- denota la relación causal .
(Ver estructura causal para definiciones de, y , .)
No totalmente vicioso
- Por algunos puntos tenemos .
Cronológico
- No hay curvas cronológicas cerradas (en forma de tiempo).
- La relación cronológica es irreflexiva : para todos .
Causal
- No hay curvas causales cerradas (no espaciales).
- Si ambos y luego
Distintivo
Pasado distinguido
- Dos puntos que comparten el mismo pasado cronológico son el mismo punto:
- Para cualquier barrio de existe un barrio tal que ninguna curva no espacial dirigida al pasado de se cruza mas de una vez.
Distinguiendo el futuro
- Dos puntos que comparten el mismo futuro cronológico son el mismo punto:
- Para cualquier barrio de existe un barrio tal que ninguna curva no espacial dirigida hacia el futuro desde se cruza mas de una vez.
Fuertemente causal
- Para cualquier barrio de existe un barrio de tal manera que no existe una curva temporal que atraviese mas de una vez.
- Para cualquier barrio de existe un barrio tal que es causalmente convexo en (y así en ).
- La topología de Alexandrov concuerda con la topología múltiple.
Estable causal
Una variedad que satisfaga cualquiera de las condiciones de causalidad más débiles definidas anteriormente puede no hacerlo si a la métrica se le da una pequeña perturbación . Un espaciotiempo es establemente causal si no se puede hacer que contenga curvas causales cerradas mediante perturbaciones arbitrariamente pequeñas de la métrica. Stephen Hawking demostró [2] que esto es equivalente a:
- Existe una función de hora global en. Este es un campo escalar en cuyo gradiente es en todas partes parecido al tiempo y dirigido al futuro. Esta función de tiempo global nos da una forma estable de distinguir entre el futuro y el pasado para cada punto del espacio-tiempo (por lo que no tenemos violaciones causales).
Globalmente hiperbólico
- es fuertemente causal y cada conjunto (por puntos ) es compacto .
Robert Geroch demostró [3] que un espacio-tiempo es globalmente hiperbólico si y solo si existe una superficie de Cauchy para. Esto significa que:
- es topológicamente equivalente a para alguna superficie de Cauchy (Aquí denota la línea real ).
Ver también
Referencias
- ^ E. Minguzzi y M. Sánchez, La jerarquía causal de los espaciotiempos en H. Baum y D. Alekseevsky (eds.), Vol. Desarrollos recientes en geometría pseudo-riemanniana, ESI Lect. Matemáticas. Phys., (Eur. Math. Soc. Publ. House, Zúrich, 2008), págs. 299–358, ISBN 978-3-03719-051-7 , arXiv: gr-qc / 0609119
- ^ SW Hawking, La existencia de funciones de tiempo cósmico Proc. R. Soc. Lond. (1969), A308 , 433
- ^ R. Geroch, Domain of Dependence Archivado el 24 de febrero de 2013en archive.today J. Math. Phys. (1970) 11 , 437–449
- SW Hawking , GFR Ellis (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-20016-4.
- SW Hawking , W. Israel (1979). Relatividad general, una encuesta del centenario de Einstein . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-22285-0.