La formulación de valor inicial de la relatividad general es una reformulación de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein que describe un universo que evoluciona con el tiempo .
Cada solución de las ecuaciones de campo de Einstein abarca toda la historia de un universo; no es solo una instantánea de cómo son las cosas, sino un espacio-tiempo completo : una declaración que abarca el estado de la materia y la geometría en todas partes y en cada momento de ese universo en particular. De esta manera, la teoría de Einstein parece ser diferente de la mayoría de las otras teorías físicas, que especifican ecuaciones de evolución para sistemas físicos; si el sistema está en un estado dado en algún momento dado, las leyes de la física le permiten extrapolar su pasado o futuro. Para las ecuaciones de Einstein, parece haber diferencias sutiles en comparación con otros campos: son autointeractivas (es decir, no lineales incluso en ausencia de otros campos); ellos sondifeomorfismo invariante , por lo que para obtener una solución única, es necesario introducir una métrica de fondo fija y condiciones de calibre; finalmente, la métrica determina la estructura del espacio-tiempo y, por lo tanto, el dominio de dependencia para cualquier conjunto de datos iniciales, por lo que la región en la que se definirá una solución específica no está, a priori, definida. [1]
Sin embargo, existe una forma de reformular las ecuaciones de Einstein que supera estos problemas. En primer lugar, hay formas de reescribir el espacio-tiempo como la evolución del "espacio" en el tiempo; una versión anterior de esto se debe a Paul Dirac , mientras que una forma más simple es conocida por sus inventores Richard Arnowitt , Stanley Deser y Charles Misner como formalismo ADM . En estas formulaciones, también conocidas como enfoques "3 + 1", el espacio-tiempo se divide en una hipersuperficie tridimensional con métrica interior y una incrustación en el espacio-tiempo con curvatura exterior ; estas dos cantidades son las variables dinámicas en una formulación hamiltoniana que rastrea la evolución de la hipersuperficie a lo largo del tiempo. [2] Con tal división, es posible establecer la formulación del valor inicial de la relatividad general . Se trata de datos iniciales que no se pueden especificar arbitrariamente, pero que deben satisfacer ecuaciones de restricción específicas , y que se definen en algunas tres variedades adecuadamente uniformes.; Al igual que para otras ecuaciones diferenciales, es posible probar teoremas de existencia y unicidad , es decir, que existe un espacio-tiempo único que es una solución de las ecuaciones de Einstein, que es globalmente hiperbólico , para el cuales una superficie de Cauchy (es decir, todos los eventos pasados influyen en lo que sucede en, y todos los eventos futuros están influenciados por lo que sucede en él), y tiene la curvatura métrica interna y extrínseca especificada; todos los espaciotiempos que satisfacen estas condiciones están relacionados por isometrías . [3]
La formulación del valor inicial con su división 3 + 1 es la base de la relatividad numérica ; intenta simular la evolución de los espaciotiempos relativistas (en particular, la fusión de agujeros negros o el colapso gravitacional ) utilizando computadoras. [4] Sin embargo, existen diferencias significativas en la simulación de otras ecuaciones de evolución física que hacen que la relatividad numérica sea especialmente desafiante, en particular el hecho de que los objetos dinámicos que están evolucionando incluyen el espacio y el tiempo mismo (por lo que no hay un trasfondo fijo contra el cual evaluar , por ejemplo, perturbaciones que representan ondas gravitacionales) y la ocurrencia de singularidades (que, cuando se permite que ocurran dentro de la porción simulada del espacio-tiempo, conducen a números arbitrariamente grandes que tendrían que ser representados en el modelo de computadora). [5]
Ver también
Notas
- ^ Cf. Hawking y Ellis 1973 , sec. 7.1.
- ^ Arnowitt, Deser y Misner 1962 ; para una introducción pedagógica, vea Misner, Thorne & Wheeler 1973 , §21.4 – §21.7.
- ^ Fourès-Bruhat 1952 y Bruhat 1962 ; para una introducción pedagógica, véase Wald 1984 , cap. 10; se puede encontrar una revisión en línea en Reula 1998 .
- ^ Ver Gourgoulhon 2007 .
- ↑ Para una revisión de los fundamentos de la relatividad numérica, incluidos los problemas a los que se alude aquí y otras dificultades, ver Lehner 2001 .
Referencias
- Arnowitt, Richard; Deser, Stanley; Misner, Charles W. (1962). "La dinámica de la relatividad general". En Witten, L. (ed.). Gravitación: una introducción a la investigación actual . Wiley. págs. 227-265.
- Bruhat, Yvonne (1962). "El problema de Cauchy". En Witten, L. (ed.). Gravitación: una introducción a la investigación actual . Wiley. pag. 130.
- Fourès-Bruhat, Yvonne (1952). "Théoréme d'existence pour ciertos systémes d'équations aux derivées partielles non linéaires" . Acta Mathematica . 88 (1): 141–225. Código Bibliográfico : 1952AcM .... 88..141F . doi : 10.1007 / BF02392131 .
- Gourgoulhon, Eric (2007). Formalismo 3 + 1 y bases de la relatividad numérica . arXiv : gr-qc / 0703035 . Código Bibliográfico : 2007gr.qc ..... 3035G .
- Hawking, Stephen W .; Ellis, George FR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09906-4.
- Kalvakota, Vaibhav R. (1 de julio de 2021). " Una breve descripción del problema de Cauchy en la relatividad general ".
- Lehner, Luis (2001). "Relatividad numérica: una revisión". Clase. Quantum Grav . 18 (17): R25 – R86. arXiv : gr-qc / 0106072 . Código Bibliográfico : 2001CQGra..18R..25L . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 18/17/202 .
- Misner, Charles W .; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973). Gravitación . WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
- Reula, Oscar A. (1998). "Métodos hiperbólicos para las ecuaciones de Einstein" . Rev. Viviente Relativ . 1 . PMC 5253804 . Consultado el 29 de agosto de 2007 .
- Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 0-226-87033-2.