En teoría analítica de números , el teorema de Siegel-Walfisz fue obtenido por Arnold Walfisz [1] como una aplicación de un teorema de Carl Ludwig Siegel [2] a los números primos en progresiones aritméticas . Es un refinamiento tanto del teorema de los números primos como del teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas .
Declaración
Definir
dónde denota la función de von Mangoldt , y dejar que φ denotan la función totient de Euler .
Entonces el teorema establece que dado cualquier número real N existe una constante positiva C N que depende solo de N tal que
siempre que ( a , q ) = 1 y
Observaciones
La constante C N no es efectivamente computable porque el teorema de Siegel es ineficaz.
Del teorema podemos deducir el siguiente límite con respecto al teorema de los números primos para progresiones aritméticas : Si, para ( a , q ) = 1, pordenotamos el número de primos menores o iguales ax que son congruentes con un mod q , entonces
donde N , a , q , C N y φ son como en el teorema, y Li denota la integral logarítmica .
Referencias
- ^ Walfisz, Arnold (1936). "Zur additiven Zahlentheorie. II" [Sobre la teoría de números aditivos. II]. Mathematische Zeitschrift (en alemán). 40 (1): 592–607. doi : 10.1007 / BF01218882 . Señor 1545584 .
- ^ Siegel, Carl Ludwig (1935). "Über die Classenzahl quadratischer Zahlkörper" [Sobre los números de clase de los campos cuadráticos]. Acta Arithmetica (en alemán). 1 (1): 83–86.