El parámetro de Grüneisen , γ, que lleva el nombre de Eduard Grüneisen , describe el efecto que tiene el cambio de volumen de una red cristalina sobre sus propiedades vibratorias y, como consecuencia, el efecto que tiene el cambio de temperatura sobre el tamaño o la dinámica de la red cristalina . El término generalmente se reserva para describir la propiedad termodinámica única γ , que es un promedio ponderado de los muchos parámetros separados γ i que entran en la formulación original de Grüneisen en términos de las no linealidades del fonón . [1]
Definiciones termodinámicas
Debido a las equivalencias entre muchas propiedades y derivados dentro de la termodinámica (por ejemplo, ver Relaciones de Maxwell ), hay muchas formulaciones del parámetro Grüneisen que son igualmente válidas, lo que lleva a numerosas interpretaciones distintas pero correctas de su significado.
Algunas formulaciones para el parámetro Grüneisen incluyen:
donde V es el volumen, y son las capacidades caloríficas principales (es decir, por masa) a presión y volumen constantes, E es energía, S es entropía, α es el coeficiente de expansión térmica volumétrica , y son los módulos de volumen adiabático e isotérmico ,es la velocidad del sonido en el medio y ρ es la densidad. El parámetro de Grüneisen no tiene dimensiones.
Constante de Grüneisen para cristales perfectos con interacciones de pares
La expresión de la constante de Grüneisen de un cristal perfecto con interacciones de pares en -el espacio dimensional tiene la forma: [2]
dónde es el potencial interatómico , es la distancia de equilibrio, es la dimensionalidad del espacio. Las relaciones entre la constante de Grüneisen y los parámetros de los potenciales de Lennard-Jones , Morse y Mie [3] se presentan en la siguiente tabla.
Enrejado | Dimensionalidad | Potencial de Lennard-Jones | Potencial de Mie | Potencial Morse |
---|---|---|---|---|
Cadena | ||||
Celosía triangular | ||||
FCC, BCC | ||||
"Hyperlattice" | ||||
Formula general |
La expresión de la constante de Grüneisen de una cadena 1D con potencial de Mie coincide exactamente con los resultados de MacDonald y Roy. [4] Usando la relación entre el parámetro de Grüneisen y el potencial interatómico, se puede derivar la condición simple necesaria y suficiente para la Expansión Térmica Negativa en cristales perfectos con interacciones de pares.
Una descripción adecuada del parámetro de Grüneisen representa una prueba rigurosa para cualquier tipo de potencial interatómico. [5]
Definición microscópica a través de las frecuencias de fonones.
El significado físico del parámetro también se puede ampliar combinando la termodinámica con un modelo de microfísica razonable para los átomos que vibran dentro de un cristal. Cuando la fuerza restauradora que actúa sobre un átomo desplazado de su posición de equilibrio es lineal en el desplazamiento del átomo, las frecuencias ω i de los fonones individuales no dependen del volumen del cristal o de la presencia de otros fonones, y la expansión térmica (y por tanto, γ) es cero. Cuando la fuerza de restauración no es lineal en el desplazamiento, las frecuencias de fonones ω i cambian con el volumen. El parámetro Grüneisen de un modo vibratorio individual entonces se puede definir como (el negativo de) la derivada logarítmica de la frecuencia correspondiente :
Relación entre modelos microscópicos y termodinámicos
Usando la aproximación cuasi-armónica para vibraciones atómicas, el parámetro macroscópico de Grüneisen ( γ ) puede relacionarse con la descripción de cómo las frecuencias vibratorias ( fonones ) dentro de un cristal se alteran con el cambio de volumen (es decir, γ i 's). Por ejemplo, se puede demostrar que
si uno define como el promedio ponderado
dónde son las contribuciones del modo vibratorio parcial a la capacidad calorífica, de manera que
Prueba
Para probar esta relación, es más fácil introducir la capacidad calorífica por partícula. ; para que uno pueda escribir
.
De esta forma, basta con probar
.
Lado izquierdo (def):
Lado derecho (def):
Además ( relaciones de Maxwell ):
Por lo tanto
Esta derivada es sencilla de determinar en la aproximación cuasi-armónica , ya que solo ω i son dependientes de V.
Esto produce
Ver también
enlaces externos
Referencias
- ↑ Grüneisen, E. (1912), "Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente" , Annalen der Physik , 344 (12): 257–306, Bibcode : 1912AnP ... 344..257G , doi : 10.1002 / andp.19123441202
- ^ Krivtsov, AM; Kuzkin, VA (2011), "Derivación de ecuaciones de estado para cristales ideales de estructura simple", Mecánica de sólidos , 46 (3): 387–399, Bibcode : 2011MeSol..46..387K , doi : 10.3103 / S002565441103006X
- ^ "Página de potencial de Mie en SklogWiki - un wiki para mecánica estadística y termodinámica" . www.sklogwiki.org . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .
- ^ MacDonald, DKC; Roy, SK (1955), "Anarmonicidad vibratoria y propiedades térmicas de celosía. II", Phys. Rev. , 97 (3): 673–676, Bibcode : 1955PhRv ... 97..673M , doi : 10.1103 / PhysRev.97.673
- ^ Porter, LJ; Justo, JF; Yip, S. (1997). "La importancia de los parámetros de Grüneisen en el desarrollo de potenciales interatómicos". J. Appl. Phys . 82 (11): 5378–5381. doi : 10.1063 / 1.366305 .