Categoría calificada

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Si es una categoría , entonces una categoría calificada es una categoría junto con un functor .${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle F \ colon {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {A}}}$

Los monoides y los grupos se pueden considerar categorías con un solo elemento . Por lo tanto, una categoría de grado monoide o grado grupal es aquella en la que a cada morfismo se le adjunta un elemento de un monoide dado (grupo resp.), Su grado. Esto debe ser compatible con la composición , en el sentido de que las composiciones tienen la calidad del producto.

Hay varias definiciones diferentes de una categoría calificada, hasta la más abstracta dada anteriormente. Una definición más concreta de una categoría abeliana graduada es la siguiente: ^[1]

Sea una categoría abeliana y un monoide . Sea un conjunto de functores de a sí mismo. Si${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {G}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ {S_ {g}: g \ in \ mathbb {G} \}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

decimos que es una categoría clasificada.${\ Displaystyle ({\ mathcal {C}}, {\ mathcal {S}})}$${\ Displaystyle \ mathbb {G}}$

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