Número de Grassmann

En física matemática , un número de Grassmann , llamado así por Hermann Grassmann (también llamado número anticonmutación o supernúmero ), es un elemento del álgebra exterior sobre los números complejos. ^[1] El caso especial de un álgebra unidimensional se conoce como número dual . Los números de Grassmann vieron un uso temprano en física para expresar una representación integral de trayectoria para campos fermiónicos , aunque ahora se usan ampliamente como base para el superespacio , sobre el cual se construye la supersimetría .

Discusión informal

Los números de Grassmann se generan mediante elementos u objetos anti-traslados. La idea de objetos anti-desplazamientos surge en múltiples áreas de las matemáticas: se ven típicamente en geometría diferencial , donde las formas diferenciales son anti-desplazamientos. Las formas diferenciales se definen normalmente en términos de derivadas en una variedad; sin embargo, uno puede contemplar la situación en la que uno "olvida" o "ignora" la existencia de cualquier variedad subyacente, y "olvida" o "ignora" que las formas se definieron como derivadas, y en su lugar, simplemente contemplar una situación en la que uno tiene objetos. que son anti-conmutación, y no tienen otras propiedades predefinidas o supuestas. Tales objetos forman un álgebra , y específicamente el álgebra de Grassmann.o álgebra exterior.

Los números de Grassmann son elementos de esa álgebra. La denominación de "número" se justifica por el hecho de que se comportan de manera similar a los números "ordinarios": se pueden sumar, multiplicar y dividir: se comportan casi como un campo . Se puede hacer más: se pueden considerar polinomios de números de Grassmann, lo que lleva a la idea de funciones holomórficas . Se pueden tomar derivadas de tales funciones y luego considerar las anti-derivadas también. Cada una de estas ideas puede definirse cuidadosamente y corresponde razonablemente bien a los conceptos equivalentes de las matemáticas ordinarias. La analogía no se detiene ahí: uno tiene una rama completa de las supermatemáticas , donde el análogo del espacio euclidiano es el superespacio , el análogo de una variedad es unsupermanifold , el análogo de un álgebra de Lie es una superalgebra de Lie y así sucesivamente. Los números de Grassmann son la construcción subyacente que hace que todo esto sea posible.

Por supuesto, uno podría seguir un programa similar para cualquier otro campo, o incluso el anillo , y esto se hace de manera generalizada y común en matemáticas. Sin embargo, las supermatemáticas adquieren un significado especial en la física, porque el comportamiento anti-conmutación puede identificarse fuertemente con el comportamiento mecánico-cuántico de los fermiones: la anti-conmutación es la del principio de exclusión de Pauli . Por tanto, el estudio de los números de Grassmann, y de las supermatemáticas, en general, está fuertemente impulsado por su utilidad en física.

Específicamente, en la teoría cuántica de campos , o más estrictamente, en la segunda cuantificación , se trabaja con operadores de escalera que crean estados cuánticos de múltiples partículas. Los operadores de escalera para fermiones crean cuantos de campo que necesariamente deben tener funciones de onda antisimétricas , ya que esto está obligado por el principio de exclusión de Pauli. En esta situación, un número de Grassmann corresponde inmediata y directamente a una función de onda que contiene algún número (típicamente indeterminado) de fermiones.

Cuando el número de fermiones es fijo y finito, se da una relación explícita entre las relaciones de anticonmutación y los espinores mediante el grupo de espines . Este grupo se puede definir como el subconjunto de vectores de longitud unitaria en el álgebra de Clifford y, naturalmente, se factoriza en espinores Weyl anti-conmutación . Tanto la anti-conmutación como la expresión como espinores surgen de forma natural para el grupo de espín. En esencia, se puede pensar que los números de Grassmann descartan las relaciones que surgen del giro y mantienen solo las relaciones debidas a la anticonmutación.

Descripción general y propiedades

Números de Grassmann son elementos individuales o puntos de la álgebra exterior generada por un conjunto de n variables de Grassmann o direcciones de Grassmann o sobrealimenta , con n siendo posiblemente infinito. El uso del término "variables de Grassmann" es histórico; no son variables, per se ; se entienden mejor como los elementos básicos de un álgebra unital . La terminología proviene del hecho de que un uso principal es definir integrales, y que la variable de integración es valorada por Grassmann y, por lo tanto, por abuso del lenguaje, se denomina variable de Grassmann. Del mismo modo, la noción de dirección proviene de la noción de${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$superespacio , donde el espacio euclidiano ordinario se extiende con "direcciones" adicionales valoradas por Grassmann. La denominación de carga proviene de la noción de cargas en física , que corresponden a los generadores de simetrías físicas (a través del teorema de Noether ). La simetría percibida es que la multiplicación por una sola variable de Grassmann intercambia la clasificación entre fermiones y bosones; esto se discute con mayor detalle a continuación.${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Las variables de Grassmann son los vectores base de un espacio vectorial (de dimensión n ). Forman un álgebra sobre un campo , usualmente el campo se toma como los números complejos , aunque se podrían contemplar otros campos, como los reales. El álgebra es un álgebra unital , y los generadores son anti-traslados:

${\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}}$

Dado que son elementos de un espacio vectorial sobre los números complejos, ellos, por definición, conmutan con números complejos. Es decir, para el complejo x , uno tiene${\displaystyle \theta _{i}}$

${\displaystyle \theta _{i}x=x\theta _{i}.}$

Los cuadrados de los generadores se desvanecen:

${\displaystyle (\theta _{i})^{2}=0,}$ ya que ${\displaystyle \theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}.}$

En otras palabras, una variable de Grassmann es una raíz cuadrada de cero distinta de cero.

Definicion formal

Formalmente, sea V un espacio vectorial complejo n- dimensional con base . El álgebra de Grassmann cuyas variables de Grassmann son se define como el álgebra exterior de V , a saber${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus V\oplus \left(V\wedge V\right)\oplus \left(V\wedge V\wedge V\right)\oplus \cdots \oplus \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{n}\equiv \mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V,}$

donde es el producto exterior y es la suma directa . Los elementos individuales de esta álgebra se denominan números de Grassmann . Es estándar omitir el símbolo de la cuña al escribir un número de Grassmann una vez que se establece la definición. Un número de Grassmann general se puede escribir como${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \wedge }$

${\displaystyle z=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

donde son k -tuplas estrictamente crecientes con , y son tensores complejos, completamente antisimétricos de rango k . Nuevamente, se puede ver aquí que el , y el (sujeto a ), y los productos finitos más grandes, juegan el papel de vectores base de subespacios de .${\displaystyle (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})}$${\displaystyle 1\leq i_{j}\leq n,1\leq j\leq k}$${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \theta _{i}\wedge \theta _{j}=\theta _{i}\theta _{j}}$${\displaystyle i<j}$${\displaystyle \Lambda }$

El álgebra de Grassmann generada por n variables de Grassmann linealmente independientes tiene dimensión 2 ⁿ ; esto se sigue del teorema del binomio aplicado a la suma anterior, y del hecho de que el producto ( n + 1) de las variables debe desaparecer, por las relaciones anti-conmutación, arriba. La dimensión de está dada por n elija k , el coeficiente binomial . El caso especial de n = 1 se llama número dual y fue introducido por William Clifford en 1873.${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$

En caso de que V sea ​​de dimensión infinita, la serie anterior no termina y se define

${\displaystyle \Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots .}$

El elemento general es ahora

${\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

donde se refiere a veces como el cuerpo y como el alma de la supernumber .${\displaystyle z_{B}}$${\displaystyle z_{S}}$ ${\displaystyle z}$

Propiedades

En el caso de dimensión finita (usando la misma terminología) el alma es nilpotente , es decir

${\displaystyle z_{S}^{n+1}=0,}$

pero esto no es necesariamente así en el caso de dimensión infinita. ^[2]

Si V es de dimensión finita, entonces

${\displaystyle \theta _{i}z=0,\quad 1\leq i\leq n\Rightarrow z=c\theta _{1}\theta _{2}\cdots \theta _{n},\quad c\in \mathbb {C} ,}$

y si V es de dimensión infinita ^[3]

${\displaystyle \theta _{a}z=0\quad \forall a\Rightarrow z=0.}$

Conjuntos de generadores finitos vs.contables

En la literatura aparecen comúnmente dos tipos distintos de supernúmeros: los que tienen un número finito de generadores, normalmente n = 1, 2, 3 o 4, y los que tienen un número infinito de generadores. Estas dos situaciones no son tan inconexas como pueden parecer al principio. Primero, en la definición de una supervariedad , una variante usa un número infinito numerable de generadores, pero luego emplea una topología que reduce efectivamente la dimensión a un pequeño número finito. ^{[4] [5]}

En el otro caso, se puede comenzar con un número finito de generadores, pero en el transcurso de la segunda cuantificación , surge la necesidad de un número infinito de generadores: uno para cada posible impulso que pueda llevar un fermión.

Involución, elección de campo

Los números complejos generalmente se eligen como campo para la definición de los números de Grassmann, a diferencia de los números reales, ya que esto evita algunos comportamientos extraños cuando se introduce una conjugación o involución . Es común introducir un operador * en los números de Grassmann de manera que:

${\displaystyle \theta =\theta ^{*}}$

cuando es un generador, y tal que${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle (\theta _{i}\theta _{j}\cdots \theta _{k})^{*}=\theta _{k}\cdots \theta _{j}\theta _{i}}$

Uno puede entonces considerar los números z de Grassmann para los cuales , y denominarlos (super) reales , mientras que los que obedecen se denominan (super) imaginarios . Estas definiciones se llevan a cabo muy bien, incluso si los números de Grassmann usan los números reales como campo base; sin embargo, en tal caso, muchos coeficientes se ven obligados a desaparecer si el número de generadores es menor que 4. Por lo tanto, por convención, los números de Grassmann generalmente se definen sobre los números complejos.${\displaystyle z=z^{*}}$${\displaystyle z^{*}=-z}$

Son posibles otras convenciones; lo anterior a veces se conoce como la convención de DeWitt; Rogers emplea para la involución. En esta convención, los supernúmeros reales siempre tienen coeficientes reales; mientras que en la convención de DeWitt, los supernúmeros reales pueden tener coeficientes tanto reales como imaginarios. A pesar de esto, suele ser más fácil trabajar con la convención de DeWitt.${\displaystyle \theta ^{*}=i\theta }$

Análisis

Los productos de un número impar de variables de Grassmann se oponen entre sí; A este producto se le suele llamar número a . Los productos de un número par de variables de Grassmann conmutan (con todos los números de Grassman); a menudo se les llama números c . Por abuso de terminología, un número a a veces se denomina número c anticonmutación . Esta descomposición en subespacios pares e impares proporciona una calificación en álgebra; por tanto, las álgebras de Grassmann son los ejemplos prototípicos de álgebras superconmutativas . Tenga en cuenta que los números c forman una subálgebra de , pero los números a no (son un subespacio, no una subálgebra).${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

La definición de los números de Grassmann permite realizar un análisis matemático , en analogía con el análisis de números complejos. Es decir, se pueden definir funciones superholomórficas , definir derivadas, así como definir integrales. Algunos de los conceptos básicos se desarrollan con mayor detalle en el artículo sobre números duales .

Como regla general, suele ser más fácil definir los análogos supersimétricos de entidades matemáticas ordinarias trabajando con números de Grassmann con un número infinito de generadores: la mayoría de las definiciones se vuelven sencillas y pueden tomarse de las definiciones bosónicas correspondientes. Por ejemplo, se puede pensar que un solo número de Grassmann genera un espacio unidimensional. Un espacio vectorial, el superespacio m -dimensional , aparece entonces como el producto cartesiano de m- pliegues de estos unidimensionales ^{[ aclaración necesaria ]} Se puede demostrar que esto es esencialmente equivalente a un álgebra con m generadores, pero esto requiere trabajo. ^{[6] [}${\displaystyle \Lambda .}$^{aclaración necesaria ]}

Espacio spinor

El espacio de espinores se define como Grassmann o álgebra exterior del espacio de espinores de Weyl (y anti-espinores ), de modo que las funciones de onda de n fermiones pertenecen .${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle {\overline {W}}}$${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}W}$

Integración

Artículo principal: Berezin integral

Las integrales sobre números de Grassmann se conocen como integrales de Berezin (a veces llamadas integrales de Grassmann). Para reproducir la integral de ruta para un campo de Fermi, la definición de integración de Grassmann debe tener las siguientes propiedades:

• linealidad

${\displaystyle \int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta }$

• fórmula de integración parcial

${\displaystyle \int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.}$

Además, la expansión de Taylor de cualquier función termina después de dos términos porque , y la teoría cuántica de campos adicionalmente requiere invariancia bajo el desplazamiento de las variables de integración de manera que${\displaystyle f(\theta )=A+B\theta }$${\displaystyle \theta ^{2}=0}$${\displaystyle \theta \to \theta +\eta }$

${\displaystyle \int d\theta f(\theta )=\int d\theta (A+B\theta )\equiv \int d\theta ((A+B\eta )+B\theta ).}$

La única función lineal que satisface esta condición es una constante (convencionalmente 1) multiplicada por B , por lo que Berezin definió ^[7]

${\displaystyle \int d\theta (A+B\theta )\equiv B.}$

Esto da como resultado las siguientes reglas para la integración de una cantidad de Grassmann:

• ${\displaystyle \int \,1\,d\theta =0}$
• ${\displaystyle \int \,\theta \,d\theta =1.}$

Por tanto, concluimos que las operaciones de integración y diferenciación de un número de Grassmann son idénticas.

En la formulación de la integral de trayectoria de la teoría cuántica de campos, se necesita la siguiente integral gaussiana de cantidades de Grassmann para campos anticonmutación fermiónicos, siendo A una matriz N  ×  N :

${\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{\rm {T}}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}$.

Convenciones e integración compleja

Surge una ambigüedad al integrar varios números de Grassmann. La convención que realiza la integral más interna primero produce

${\displaystyle \int d\theta \int d\eta \;\eta \theta =+1.}$

Algunos autores también definen la conjugación compleja similar a la conjugación hermitiana de operadores, ^[8]

${\displaystyle (\theta \eta )^{*}\equiv \eta ^{*}\theta ^{*}=-\theta ^{*}\eta ^{*}.}$

Con la convención adicional

${\displaystyle \theta ={\frac {\theta _{1}+i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},\quad \theta ^{*}={\frac {\theta _{1}-i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},}$

podemos tratar θ y θ * como números Grassmann independientes, y adoptar

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,(\theta \theta ^{*})=1.}$

Por tanto, una integral gaussiana se evalúa como

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,e^{-\theta ^{*}b\theta }=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1-\theta ^{*}b\theta )=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1+\theta \theta ^{*}b)=b}$

y un factor adicional de θθ * introduce efectivamente un factor de (1 / b) , al igual que un gaussiano ordinario,

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,\theta \theta ^{*}\,e^{-\theta ^{*}b\theta }=1.}$

Después de demostrar la unitaridad, podemos evaluar una integral gaussiana general que involucra una matriz hermitiana B con valores propios b _i , ^{[8] [9]}

${\displaystyle \left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}B_{ij}\theta _{j}}=\left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}b_{i}\theta _{i}}=\prod _{i}b_{i}=\det B.}$

Representaciones matriciales

Los números de Grassmann se pueden representar mediante matrices . Considere, por ejemplo, el álgebra de Grassmann generada por dos números de Grassmann y . Estos números de Grassmann se pueden representar mediante matrices de 4 × 4:${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

${\displaystyle \theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

En general, un álgebra de Grassmann en n generadores se puede representar mediante matrices cuadradas de 2 ⁿ × 2 ⁿ . Físicamente, estas matrices pueden considerarse como operadores ascendentes que actúan sobre un espacio de Hilbert de n fermiones idénticos en la base del número de ocupación. Dado que el número de ocupación para cada fermión es 0 o 1, hay 2 ⁿ estados básicos posibles. Matemáticamente, estas matrices se pueden interpretar como los operadores lineales correspondientes a la multiplicación exterior izquierda en el álgebra de Grassmann.

Generalizaciones

Hay algunas generalizaciones sobre los números de Grassmann. Estos requieren reglas en términos de N variables tales que:

${\displaystyle \theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{N}}+\theta _{i_{N}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots +\cdots =0}$

donde los índices se suman sobre todas las permutaciones de modo que, como consecuencia:

${\displaystyle (\theta _{i})^{N}=0\,}$

para algunos N  > 2. Estos son útiles para calcular hiperdeterminantes de N -tensores donde N  > 2 y también para calcular discriminantes de polinomios para potencias mayores que 2. También existe el caso límite ya que N tiende a infinito, en cuyo caso se puede definir funciones analíticas sobre los números. Por ejemplo, en el caso de N  = 3, la matriz puede representar un solo número de Grassmann:

${\displaystyle \theta ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad }$

de modo que . Para dos números de Grassmann, la matriz tendría un tamaño de 10 × 10.${\displaystyle \theta ^{3}=0}$

Por ejemplo, las reglas para N  = 3 con dos variables de Grassmann implican:

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}+\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}+(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=0}$

para que se pueda demostrar que

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=(\theta _{2})^{2}\theta _{1}}$

y entonces

${\displaystyle (\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}=(\theta _{2})^{2}(\theta _{1})^{2}=\theta _{1}(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=\theta _{2}(\theta _{1})^{2}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1},}$

que da una definición para el hiperdeterminante de un tensor 2 × 2 × 2 como

${\displaystyle (A^{abc}\theta _{a}\eta _{b}\psi _{c})^{4}=\det(A)(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}(\eta _{1})^{2}(\eta _{2})^{2}(\psi _{1})^{2}(\psi _{2})^{2}.}$

Ver también

• Grassmannian
• Hermann Grassmann (lingüista y matemático)
• Superespacio
• Álgebra exterior

Notas

1. DeWitt 1984 , Capítulo 1, página 1.
2. DeWitt 1984 , págs. 1-2.
3. DeWitt 1984 , p. 2.
4. Rogers 2007a , Capítulo 1 (disponible en línea)
5. Rogers 2007 , Capítulo 1 y Capítulo 8.
6. Rogers 2007
7. Berezin, FA (1966). El método de la segunda cuantificación . Física pura y aplicada. 24 . Nueva York. ISSN  0079-8193 .
8. Peskin, Michael E .; Schroeder, Daniel V. (1995). Una introducción a la teoría cuántica de campos (5. (corregida) impresión. Ed.). Reading, Mass .: Addison-Wesley. ISBN 9780201503975.
9. Error tipográfico de índices presente en la fuente.

Referencias

• DeWitt, B. (1984). Supervariedades . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-42377-5.

• Peskin, Michael E .; Schroeder, Daniel V. (1995). Una introducción a la teoría cuántica de campos (5. (corregida) impresión. Ed.). Reading, Mass .: Addison-Wesley. ISBN 9780201503975.

• Rogers, Alice (2007a). Supermanifolds: teoría y aplicaciones (PDF) . World Scientific. Capítulo 1. doi : 10.1142 / 1878 . ISBN 978-981-3203-21-1.

• Rogers, Alice (2007). Supervariedades: teoría y aplicaciones . World Scientific. ISBN 978-981-3203-21-1.