Superespacio

El superespacio es el espacio de coordenadas de una teoría que exhibe supersimetría . En tal formulación, junto con las dimensiones del espacio ordinario x , y , z , ..., también hay dimensiones "anticonmutación" cuyas coordenadas están etiquetadas con números de Grassmann en lugar de números reales. Las dimensiones del espacio ordinario corresponden a grados de libertad bosónicos , las dimensiones anticonmutación a grados de libertad fermiónicos .

La palabra "superespacio" fue utilizada por primera vez por John Wheeler en un sentido no relacionado para describir el espacio de configuración de la relatividad general ; por ejemplo, este uso puede verse en su libro de texto Gravitation de 1973 .

Discusión informal

Hay varias definiciones de superespacio similares, pero no equivalentes, que se han utilizado y siguen utilizándose en la literatura matemática y física. Uno de esos usos es sinónimo de super espacio de Minkowski . ^[1] En este caso, uno toma el espacio ordinario de Minkowski y lo extiende con grados de libertad fermiónicos anti-conmutación, tomados como espinores Weyl anti-conmutación del álgebra de Clifford asociada al grupo de Lorentz . De manera equivalente, el super espacio de Minkowski puede entenderse como el cociente del super álgebra de Poincaré módulo el álgebra del grupo de Lorentz. Una notación típica para las coordenadas en tal espacio es${\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ con la línea superior que indica que el espacio super Minkowski es el espacio previsto.

Superspace también se usa comúnmente como sinónimo del súper espacio vectorial . Esto se considera un espacio vectorial ordinario , junto con coordenadas adicionales tomadas del álgebra de Grassmann , es decir, direcciones de coordenadas que son números de Grassmann . Existen varias convenciones para la construcción de un super espacio vectorial en uso; dos de ellos son descritos por Rogers ^[2] y DeWitt. ^[3]

Un tercer uso del término "superespacio" es como sinónimo de supervariedad : una generalización supersimétrica de una variedad . Tenga en cuenta que tanto los súper espacios de Minkowski como los súper espacios vectoriales pueden tomarse como casos especiales de supervariedades.

Un cuarto significado, que no guarda ninguna relación, se usó brevemente en la relatividad general ; esto se discute con mayor detalle en la parte inferior.

Ejemplos

A continuación se ofrecen varios ejemplos. Los primeros asumen una definición de superespacio como un super espacio vectorial . Esto se denota como R ^{m | n} , el Z ₂ - graduada espacio vectorial con R ^m como el subespacio incluso y R ⁿ como el subespacio impar. La misma definición se aplica a C ^{m | n} .

Los ejemplos de cuatro dimensiones toman el superespacio como un super espacio de Minkowski . Aunque es similar a un espacio vectorial, tiene muchas diferencias importantes: en primer lugar, es un espacio afín , que no tiene un punto especial que denote el origen. A continuación, las coordenadas fermiónicas se toman como espinores de Weyl anti-conmutación del álgebra de Clifford , en lugar de ser números de Grassmann . La diferencia aquí es que el álgebra de Clifford tiene una estructura considerablemente más rica y sutil que los números de Grassmann. Entonces, los números de Grassmann son elementos del álgebra exterior , y el álgebra de Clifford tiene un isomorfismo al álgebra exterior, pero su relación con el grupo ortogonaly el grupo de espín , utilizado para construir las representaciones de espín , le dan un significado geométrico profundo. (Por ejemplo, los grupos de espín forman una parte normal del estudio de la geometría de Riemann , ^[4] bastante fuera de los límites y preocupaciones ordinarios de la física).

Ejemplos triviales

El superespacio más pequeño es un punto que no contiene direcciones bosónicas ni fermiónicas. Otros ejemplos triviales incluyen el plano real n- dimensional R ⁿ , que es un espacio vectorial que se extiende en n direcciones bosónicas reales y no fermiónicas. El espacio vectorial R ^{0 | n} , que es el álgebra de Grassmann real n- dimensional . El espacio R ^{1 | 1} de una dirección par y otra impar se conoce como el espacio de números duales , introducido por William Clifford en 1873.

El superespacio de la mecánica cuántica supersimétrica

La mecánica cuántica supersimétrica con N supercargas se formula a menudo en el superespacio R ^{1 | 2 N} , que contiene una dirección real t identificada con el tiempo y N direcciones de Grassmann complejas que se extienden por Θ _i y Θ ^* _i , donde i va de 1 a N .

Considere el caso especial N  = 1. El superespacio R ^{1 | 2} es un espacio vectorial tridimensional. Por tanto, una coordenada dada puede escribirse como una triple ( t , Θ, Θ ^* ). Las coordenadas forman una superalgebra de Lie , en la que el grado de gradación de t es par y el de Θ y Θ ^* es impar. Esto significa que se puede definir un corchete entre dos elementos cualesquiera de este espacio vectorial, y que este corchete se reduce al conmutador en dos coordenadas pares y en una coordenada par y otra impar mientras que es un anticonmutador.en dos coordenadas impares. Este superespacio es un superalgebra de Lie abeliano, lo que significa que todos los paréntesis antes mencionados desaparecen

${\displaystyle \left[t,t\right]=\left[t,\theta \right]=\left[t,\theta ^{*}\right]=\left\{\theta ,\theta \right\}=\left\{\theta ,\theta ^{*}\right\}=\left\{\theta ^{*},\theta ^{*}\right\}=0}$

donde es el conmutador de un y b y es la anticonmutador de una y b .${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \{a,b\}}$

Se pueden definir funciones de este espacio vectorial a sí mismo, que se denominan supercampos . Las relaciones algebraicas anteriores implican que, si expandimos nuestro supercampo como una serie de potencias en Θ y Θ ^* , solo encontraremos términos en el orden cero y primero, porque Θ ²  = Θ ^{* 2}  = 0. Por lo tanto, los supercampos pueden escritas como funciones arbitrarias de t multiplicadas por los términos cero y de primer orden en las dos coordenadas de Grassmann

${\displaystyle \Phi \left(t,\Theta ,\Theta ^{*}\right)=\phi (t)+\Theta \Psi (t)-\Theta ^{*}\Phi ^{*}(t)+\Theta \Theta ^{*}F(t)}$

Los supercampos, que son representaciones de la supersimetría del superespacio, generalizan la noción de tensores , que son representaciones del grupo de rotación de un espacio bosónico.

Entonces se pueden definir derivadas en las direcciones de Grassmann, que toman el término de primer orden en la expansión de un supercampo al término de orden cero y aniquilan el término de orden cero. Se pueden elegir convenciones de signos de modo que las derivadas satisfagan las relaciones anticonmutación

${\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}\,,\Theta \right\}=\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}\,,\Theta ^{*}\right\}=1}$

Estos derivados se pueden ensamblar en supercargas.

${\displaystyle Q={\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\Theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\quad {\text{and}}\quad Q^{\dagger }={\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}+i\Theta {\frac {\partial }{\partial t}}}$

cuyos anticonmutadores los identifican como los generadores fermiónicos de un álgebra de supersimetría

${\displaystyle \left\{Q,Q^{\dagger }\,\right\}=2i{\frac {\partial }{\partial t}}}$

donde i multiplicado por la derivada del tiempo es el operador hamiltoniano en mecánica cuántica . Tanto Q como su adjunto anticonmutan consigo mismos. La variación de supersimetría con el parámetro de supersimetría ε de un supercampo Φ se define como

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\Phi =(\epsilon ^{*}Q+\epsilon Q^{\dagger })\Phi .}$

Podemos evaluar esta variación usando la acción de Q en los supercampos.

${\displaystyle \left[Q,\Phi \right]=\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\,-i\theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\Phi =\psi +\theta ^{*}\left(F-i{\dot {\phi }}\right)+i\theta \theta ^{*}{\dot {\psi }}.}$

De manera similar, se pueden definir derivadas covariantes en el superespacio

${\displaystyle D={\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\quad {\text{and}}\quad D^{\dagger }={\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}-i\theta {\frac {\partial }{\partial t}}}$

que anticonmutan con las sobrealimentaciones y satisfacen un álgebra de supersimetría de signo incorrecto

${\displaystyle \left\{D,D^{\dagger }\right\}=-2i{\frac {\partial }{\partial t}}}$.

El hecho de que las derivadas covariantes anticonmutan con las supercargas significa que la transformación supersimétrica de una derivada covariante de un supercampo es igual a la derivada covariante de la misma transformación supersimétrica del mismo supercampo. Así, generalizando la derivada covariante en geometría bosónica que construye tensores a partir de tensores, la derivada covariante superespacial construye supercampos a partir de supercampos.

Superespacio tetradimensional N = 1

Quizás el superespacio más popular en física es d = 4 N = 1 super espacio de Minkowski R ^{4 | 4} , que es la suma directa de cuatro dimensiones bosónicas reales y cuatro dimensiones Grassmann reales (también conocidas como dimensiones fermiónicas ). ^[5] En las teorías de campos cuánticos supersimétricos , uno está interesado en los superespacios que proporcionan representaciones de una superalgebra de Lie llamada álgebra supersimétrica . La parte bosónica del álgebra de supersimetría es el álgebra de Poincaré, mientras que la parte fermiónica se construye utilizando espinores de números de Grassmann.

Por esta razón, en aplicaciones físicas se considera una acción del álgebra de supersimetría sobre las cuatro direcciones fermiónicas de R ^{4 | 4 de} tal manera que se transforman como espinor bajo la subálgebra de Poincaré. En cuatro dimensiones hay tres espinores de 4 componentes irreductibles distintos. Está el spinor Majorana , el spinor Weyl zurdo y el spinor Weyl diestro. El teorema CPT implica que en una teoría unitaria invariante de Poincaré, que es una teoría en la que la matriz S es una matriz unitariay los mismos generadores de Poincaré actúan sobre los estados internos asintóticos que sobre los estados externos asintóticos, el álgebra de supersimetría debe contener un número igual de espinores Weyl zurdos y diestros. Sin embargo, dado que cada espinor de Weyl tiene cuatro componentes, esto significa que si uno incluye cualquier espinoor de Weyl, debe tener 8 direcciones fermiónicas. Se dice que tal teoría ha extendido la supersimetría , y tales modelos han recibido mucha atención. Por ejemplo, Nathan Seiberg y Edward Witten han resuelto las teorías de calibre supersimétrico con ocho supercargas y materia fundamental , ver Teoría de calibre de Seiberg-Witten. Sin embargo, en esta subsección estamos considerando el superespacio con cuatro componentes fermiónicos, por lo que ningún espino de Weyl es consistente con el teorema de CPT.

Nota : Hay muchas convenciones de signos en uso y esta es solo una de ellas.

Esto nos deja con una posibilidad, las cuatro direcciones fermiónicas se transforman como un espinor θ _{α de} Majorana . También podemos formar un espinor conjugado

${\displaystyle {\overline {\theta }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ i\theta ^{\dagger }\gamma ^{0}=-\theta ^{\perp }C}$

donde C es la matriz de conjugación de carga, que se define por la propiedad de que cuando conjuga una matriz gamma , la matriz gamma se niega y se transpone. La primera igualdad es la definición de θ mientras que la segunda es una consecuencia de la condición de espinor de Majorana θ ^*  = iγ ₀ Cθ. El espinor conjugado juega un papel similar al de θ ^* en el superespacio R ^{1 | 2} , excepto que la condición de Majorana, como se manifiesta en la ecuación anterior, impone que θ y θ ^* no son independientes.

En particular, podemos construir las sobrealimentaciones.

${\displaystyle Q=-{\frac {\partial }{\partial {\overline {\theta }}}}+\gamma ^{\mu }\theta \partial _{\mu }}$

que satisfacen el álgebra de supersimetría

${\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},Q\right\}C=2\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }C=-2i\gamma ^{\mu }P_{\mu }C}$

donde es el operador de impulso de 4 . Nuevamente la derivada covariante se define como la supercarga pero con el segundo término negado y anticonmuta con las supercargas. Por tanto, la derivada covariante de un supermultiplet es otro supermultiplet.${\displaystyle P=i\partial _{\mu }}$

En relatividad general

La palabra "superespacio" también se usa en un sentido completamente diferente y no relacionado, en el libro Gravitation de Misner, Thorne y Wheeler. Allí, se refiere al espacio de configuración de la relatividad general y, en particular, a la visión de la gravitación como geometrodinámica , una interpretación de la relatividad general como una forma de geometría dinámica. En términos modernos, esta idea particular de "superespacio" se captura en uno de varios formalismos diferentes utilizados para resolver las ecuaciones de Einstein en una variedad de escenarios, tanto teóricos como prácticos, como en simulaciones numéricas. Esto incluye principalmente el formalismo ADM , así como las ideas que rodean la ecuación de Hamilton-Jacobi-Einstein.y la ecuación de Wheeler-DeWitt .

Ver también

• Superespacio quiral
• Superespacio armónico
• Superespacio proyectivo
• Supergrupo

Notas

1. SJ Gates, Jr. , MT Grisaru , M. Roček , W. Siegel , Superspace o mil una lecciones en supersimetría , Benjamins Cumming Publishing (1983) ISBN  0-8053 3161-1 .
2. Alice Rogers , Supermanifolds: teoría y aplicaciones , World Scientific (2007) ISBN 978-981-3203-21-1 . 
3. Bryce DeWitt , Supermanifolds , Cambridge University Press (1984) ISBN 0521 42377 5 . 
4. Jürgen Jost , Geometría riemanniana y análisis geométrico , Springer-Verlag (2002) ISBN 3-540-63654-4 . 
5. Yuval Ne'eman , Elena Eizenberg, Membranas y otras extensiones (p-branas) , World Scientific, 1995, p. 5.

Referencias

• Duplij , Steven; Siegel , Warren; Bagger, Jonathan, eds. (2005), Enciclopedia concisa de supersimetría y estructuras no conmutativas en matemáticas y física , Berlín, Nueva York: Springer , ISBN 978-1-4020-1338-6 (Segunda impresión)