Gravedad teórica

En geodesia y geofísica , la gravedad teórica o gravedad normal es una aproximación de la gravedad real en la superficie de la Tierra por medio de un modelo matemático que representa la Tierra (físicamente suavizada). El modelo más común de una Tierra suavizada es un elipsoide de revolución rotatorio de la Tierra (es decir, un esferoide ).

Fórmulas básicas

Varias fórmulas, sucesivamente más refinadas, para calcular la gravedad teórica se conocen como la Fórmula Internacional de la Gravedad , la primera de las cuales fue propuesta en 1930 por la Asociación Internacional de Geodesia . La forma general de esa fórmula es:

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left(1+A\sin ^{2}(\phi )-B\sin ^{2}(2\phi )\right),}$

donde g ( φ ) es la gravedad en función de la latitud geográfica φ de la posición cuya gravedad se va a determinar, denota la gravedad en el ecuador (determinada por medición), y los coeficientes A y B son parámetros que deben ser seleccionado para producir un buen ajuste global a la verdadera gravedad. ^[1]${\displaystyle g_{e}}$

Usando los valores del sistema de referencia GRS80 , una instanciación específica de uso común de la fórmula anterior viene dada por:

${\displaystyle g(\phi )=9.780327\left(1+0.0053024\sin ^{2}(\phi )-0.0000058\sin ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^[1]

Usando la fórmula apropiada de doble ángulo en combinación con la identidad pitagórica , esto se puede reescribir en las formas equivalentes

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\phi )&=9.780327\left(1+0.0052792\sin ^{2}(\phi )+0.0000232\sin ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0053024-.0053256\cos ^{2}(\phi )+.0000232\cos ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0026454-0.0026512\cos(2\phi )+.0000058\cos ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.\end{aligned}}\,\!}$

Hasta la década de 1960, se utilizaban con frecuencia fórmulas basadas en el elipsoide de Hayford (1924) y en el famoso geodesista alemán Helmert (1906). ^{[ cita requerida ]} La diferencia entre el semieje mayor (radio ecuatorial) del elipsoide de Hayford y el del elipsoide moderno WGS84 es251 m ; para el elipsoide de Helmert es solo63 m .

Ecuación de Somigliana

Una fórmula teórica más reciente para la gravedad en función de la latitud es la Fórmula Internacional de Gravedad 1980 (IGF80), también basada en el elipsoide WGS80 pero ahora usando la ecuación de Somigliana :

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(\phi )}}}\right],\,\!}$

donde, ^[2]

• ${\displaystyle k={\frac {bg_{p}-ag_{e}}{ag_{e}}}}$ (constante de fórmula);
• ${\displaystyle g_{e},g_{p}}$ es la gravedad definida en el ecuador y los polos, respectivamente;
• ${\displaystyle a,b}$ son los semiejes ecuatorial y polar, respectivamente;
• ${\displaystyle e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}$es la excentricidad al cuadrado del esferoide ;

Proporcionar,

${\displaystyle g(\phi )=9.7803267715\left[{\frac {1+0.001931851353\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.0066943800229\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^[1]

Un refinamiento posterior, basado en el elipsoide WGS84 , es la Fórmula de gravedad elipsoidal de 1984 de WGS ( World Geodetic System ): ^[2]

${\displaystyle g(\phi )=9.7803253359\left[{\frac {1+0.00193185265241\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.00669437999013\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$

(donde = 9,8321849378 ms ⁻² )${\displaystyle g_{p}}$

La diferencia con IGF80 es insignificante cuando se utiliza con fines geofísicos , ^[1] pero puede ser significativa para otros usos.

Más detalles

Para la gravedad normal del elipsoide a nivel del mar, es decir, elevación h = 0, se aplica esta fórmula de Somigliana (1929) (según Carlo Somigliana (1860-1955) ^[3] ):${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )={\frac {a\cdot \gamma _{a}\cdot \cos ^{2}\varphi +b\cdot \gamma _{b}\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {a^{2}\cdot \cos ^{2}\varphi +b^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

con

• ${\displaystyle \gamma _{a}}$ = Gravedad normal en el Ecuador
• ${\displaystyle \gamma _{b}}$ = Gravedad normal en los polos
• a = semieje mayor (radio del ecuador)
• b = eje semi-menor (radio del polo)
• ${\displaystyle \varphi }$= latitud

Debido a problemas numéricos , la fórmula se simplifica en esto:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot {\frac {1+p\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-e^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

con

• ${\displaystyle p={\frac {b\cdot \gamma _{b}}{a\cdot \gamma _{a}}}-1}$
• ${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}};\quad e}$es la excentricidad

Para el Sistema de referencia geodésico 1980 (GRS 80), los parámetros se establecen en estos valores:

${\displaystyle a=6\,378\,137\,\mathrm {m} \quad \quad \quad \quad b=6\,356\,752{.}314\,1\,\mathrm {m} }$

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780\,326\,771\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} \quad \gamma _{b}=9{.}832\,186\,368\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }$

${\displaystyle \Rightarrow p=1{.}931\,851\,353\cdot 10^{-3}\quad e^{2}=6{.}694\,380\,022\,90\cdot 10^{-3}}$

Fórmula de aproximación a partir de expansiones de series

La fórmula de Somigliana se aproximó a través de diferentes expansiones de series , siguiendo este esquema:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+\beta \cdot \sin ^{2}\varphi +\beta _{1}\cdot \sin ^{2}2\varphi +\dots )}$

Fórmula de gravedad internacional 1930

La fórmula de gravedad normal de Gino Cassinis fue determinada en 1930 por la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica como fórmula de gravedad internacional junto con el elipsoide de Hayford . Los parámetros son:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}78049{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2884\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

Con el paso del tiempo, los valores se mejoraron nuevamente con nuevos conocimientos y métodos de medición más exactos.

Harold Jeffreys mejoró los valores en 1948 en:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780373{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2891\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

Fórmula de gravedad internacional 1967

La fórmula de gravedad normal del Sistema de Referencia Geodésica 1967 se define con los valores:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

Fórmula de gravedad internacional 1980

De los parámetros de GRS 80 surge la expansión de la serie clásica:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780327{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}8\cdot 10^{-6}}$

La precisión es de aproximadamente ± 10 ⁻⁶ m / s ² .

Con GRS 80 también se introduce la siguiente expansión de serie:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+c_{1}\cdot \sin ^{2}\varphi +c_{2}\cdot \sin ^{4}\varphi +c_{3}\cdot \sin ^{6}\varphi +c_{4}\cdot \sin ^{8}\varphi +\dots )}$

Como tales, los parámetros son:

• c ₁  = 5,279 0414 · 10 ⁻³
• c ₂  = 2,327 18 · 10 ⁻⁵
• c ₃  = 1.262 · 10 ⁻⁷
• c ₄  = 7 · 10 ⁻¹⁰

La precisión es de aproximadamente ± 10 ⁻⁹ m / s ² exactos. Cuando no se requiera la exactitud, se pueden omitir los términos al final de la página. Pero se recomienda utilizar esta fórmula finalizada.

Dependencia de la altura

Cassinis determinó la dependencia de la altura como:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}08\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}-4{.}19\cdot 10^{-7}\,{\frac {\mathrm {cm} ^{3}}{\mathrm {g} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot \rho \right)\cdot h}$

La densidad de roca promedio  ρ ya no se considera.

Desde GRS 1967, la dependencia de la elevación elipsoidal  h es:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\varphi ,h)&=g_{0}(\varphi )-\left(1-1{.}39\cdot 10^{-3}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\cdot 3{.}0877\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\\&=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}0877\cdot 10^{-6}-4{.}3\cdot 10^{-9}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\end{aligned}}}$

Otra expresión es:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )\cdot (1-(k_{1}-k_{2}\cdot \sin ^{2}\varphi )\cdot h+k_{3}\cdot h^{2})}$

con los parámetros derivados de GSR80:

• ${\displaystyle k_{1}=2\cdot (1+f+m)/a=3{.}157\,04\cdot 10^{-7}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{2}=4\cdot f/a=2{.}102\,69\cdot 10^{-9}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{3}=3/(a^{2})=7{.}374\,52\cdot 10^{-14}\,\mathrm {m^{-2}} }$

Este ajuste es adecuado para alturas comunes en la aviación ; Pero para alturas hasta el espacio exterior (más de 100 kilómetros) está fuera de alcance .

Fórmula WELMEC

En todas las oficinas de normalización alemanas , la aceleración en caída libre  g se calcula con respecto a la latitud media φ y la altura  media sobre el nivel del mar h con el WELMEC –Formel:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=\left(1+0{.}0053024\cdot \sin ^{2}(\varphi )-0{.}0000058\cdot \sin ^{2}(2\varphi )\right)\cdot 9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}-0{.}000003085\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h}$

La fórmula se basa en la fórmula de gravedad internacional de 1967.

La escala de aceleración en caída libre en un lugar determinado debe determinarse con medición de precisión de varias magnitudes mecánicas. Las básculas , cuya masa mide debido al peso, se basa en la aceleración de caída libre, por lo que para su uso deben prepararse con diferentes constantes en diferentes lugares de uso. Mediante el concepto de las llamadas zonas de gravedad, que se dividen con el uso de la gravedad normal, el fabricante puede calibrar una balanza antes de su uso. ^[4]

Ejemplo

Aceleración en caída libre en Schweinfurt :

Datos:

• Latitud: 50 ° 3 ′ 24 ″ = 50.0567 °
• Altura sobre el nivel del mar: 229,7 m
• Densidad de las placas rocosas: ca. 2,6 g / cm ³
• Aceleración en caída libre medida: g = 9.8100 ± 0.0001 m / s ²

Aceleración en caída libre, calculada mediante fórmulas de gravedad normal:

• Cassinis: g  = 9,81038 m / s ²
• Jeffreys: g  = 9,81027 m / s ²
• WELMEC: g  = 9,81004 m / s ²

Ver también

• Anomalía de la gravedad
• Elipsoide de referencia
• EGM96 (modelo gravitacional terrestre 1996)
• Gravedad estándar  : 9.806 65 m / s ²

Referencias

1. William J. Hinze; Ralph RB von Frese ; Afif H. Saad (2013). Exploración magnética y gravitacional: principios, prácticas y aplicaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 130. ISBN 978-1-107-32819-8.
2. Sistema geodésico mundial del Departamento de defensa 1984 - Su definición y relaciones con los sistemas geodésicos locales , NIMA TR8350.2, 3ª ed., Tbl. 3.4, ecuación. 4-1
3. Biografie Somiglianas Archivado el 7 de diciembre de 2010 en la Wayback Machine (ital.)
4. Roman Schwartz, Andreas Lindau. "Das europäische Gravitationszonenkonzept nach WELMEC" (PDF) (en alemán) . Consultado el 26 de febrero de 2011 . 700kB

Otras lecturas

• Karl Ledersteger : Astronomische und physikalische Geodäsie . Handbuch der Vermessungskunde Band 5, 10. Auflage. Metzler, Stuttgart 1969
• B.Hofmann-Wellenhof, Helmut Moritz : Geodesia física , ISBN 3-211-23584-1 , Springer-Verlag Wien 2006. 
• Wolfgang Torge : Geodäsie . 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlín ua 2003. ISBN 3-11-017545-2 
• Wolfgang Torge : Geodäsie . Walter de Gruyter, Berlín ua 1975 ISBN 3-11-004394-7 

enlaces externos

• Definición del Sistema de Referencia Geodésico 1980 (GRS80) (pdf, engl .; 70 kB)
• Sistema de información de gravedad der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt , engl.
• Online-Berechnung der Normalschwere mit verschiedenen Normalschwereformeln

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