La identidad trigonométrica pitagórica , también llamada simplemente identidad pitagórica , es una identidad que expresa el teorema de Pitágoras en términos de funciones trigonométricas . Junto con las fórmulas de suma de ángulos , es una de las relaciones básicas entre las funciones seno y coseno .
La identidad es
Como de costumbre, sin 2 θ significa.
Demostraciones y sus relaciones con el teorema de Pitágoras
Prueba basada en triángulos en ángulo recto
Cualquier triángulo similar tiene la propiedad de que si seleccionamos el mismo ángulo en todos ellos, la razón de los dos lados que definen el ángulo es la misma independientemente de qué triángulo similar se seleccione, independientemente de su tamaño real: las razones dependen de los tres ángulos, no las longitudes de los lados. Por tanto, para cualquiera de los triángulos rectángulos similares de la figura, la relación entre su lado horizontal y su hipotenusa es la misma, a saber, cos θ.
Las definiciones elementales de las funciones seno y coseno en términos de los lados de un triángulo rectángulo son:
La identidad pitagórica sigue al elevar al cuadrado las dos definiciones anteriores y agregar; el lado izquierdo de la identidad se convierte en
que según el teorema de Pitágoras es igual a 1. Esta definición es válida para todos los ángulos, debido a la definición de definir y para el círculo unitario y por lo tanto y para un círculo de radio cy reflejando nuestro triángulo en el eje y y ajuste y .
Alternativamente, se pueden emplear las identidades encontradas en la simetría trigonométrica, los cambios y la periodicidad . Por las identidades de periodicidad podemos decir si la fórmula es cierto para -π < θ ≤ pi , entonces es cierto para todos los reales θ . A continuación probamos el rango π / 2 < θ ≤ π, para hacer esto dejamos t = θ - π / 2, t ahora estará en el rango 0 < t ≤ π / 2. Luego podemos hacer uso de versiones cuadradas de algunas identidades de cambio básicas (cuadrar quita convenientemente los signos menos):
Todo lo que queda es demostrarlo para −π < θ <0; esto se puede hacer elevando al cuadrado las identidades de simetría para obtener
Identidades relacionadas
Las identidades
y
también se denominan identidades trigonométricas pitagóricas. [1] Si un cateto de un triángulo rectángulo tiene longitud 1, entonces la tangente del ángulo adyacente a ese cateto es la longitud del otro cateto y la secante del ángulo es la longitud de la hipotenusa.
y:
De esta manera, esta identidad trigonométrica que involucra la tangente y la secante se sigue del teorema de Pitágoras. El ángulo opuesto al cateto de longitud 1 (este ángulo se puede etiquetar como φ = π / 2 - θ) tiene una cotangente igual a la longitud del otro cateto y una cosecante igual a la longitud de la hipotenusa. De esa manera, esta identidad trigonométrica que involucra la cotangente y la cosecante también se sigue del teorema de Pitágoras.
La siguiente tabla muestra las identidades con el factor o divisor que las relaciona con la identidad principal.
Identidad original | Divisor | Ecuación del divisor | Identidad derivada | Identidad derivada (alternativa) |
---|---|---|---|---|
Prueba usando el círculo unitario
El círculo unitario centrado en el origen en el plano euclidiano se define mediante la ecuación: [2]
Dado un ángulo θ, hay un punto único P en el círculo unitario en un ángulo θ desde el eje x , y las coordenadas x e y de P son: [3]
En consecuencia, de la ecuación para el círculo unitario:
la identidad pitagórica.
En la figura, el punto P tiene una coordenada x negativa , y está dado apropiadamente por x = cos θ , que es un número negativo: cos θ = −cos (π− θ ). El punto P tiene una coordenada y positiva , y sin θ = sin (π− θ )> 0. A medida que θ aumenta de cero al círculo completo θ = 2π, el seno y el coseno cambian de signo en los distintos cuadrantes para mantener x e y con los signos correctos. La figura muestra cómo varía el signo de la función seno a medida que el ángulo cambia de cuadrante.
Debido a que el x - y Y -axes son perpendiculares, esta identidad de Pitágoras es equivalente al teorema de Pitágoras para triángulos con hipotenusa de longitud 1 (que es a su vez equivalente al teorema de Pitágoras completo mediante la aplicación de un argumento de triángulos similares). Consulte el círculo unitario para obtener una breve explicación.
Prueba con serie de potencia
Las funciones trigonométricas también pueden definirse utilizando series de potencias , a saber (para x un ángulo medido en radianes ): [4] [5]
Usando la ley formal de multiplicación para series de potencias en Multiplicación y división de series de potencias (adecuadamente modificada para dar cuenta de la forma de la serie aquí) obtenemos
En la expresión para sen 2 , n debe ser al menos 1, mientras que en la expresión para cos 2 , el término constante es igual a 1. Los términos restantes de su suma son (sin los factores comunes)
por el teorema del binomio . Como consecuencia,
que es la identidad trigonométrica pitagórica.
Cuando las funciones trigonométricas se definen de esta manera, la identidad en combinación con el teorema de Pitágoras muestra que estas series de potencias parametrizan el círculo unitario, que usamos en la sección anterior. Esta definición construye las funciones seno y coseno de manera rigurosa y demuestra que son diferenciables, de modo que de hecho subsume las dos anteriores.
Prueba usando la ecuación diferencial
El seno y el coseno se pueden definir como las dos soluciones de la ecuación diferencial: [6]
satisfaciendo respectivamente y (0) = 0, y ′ (0) = 1 y y (0) = 1, y ′ (0) = 0. De la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias se sigue que la primera solución, seno, tiene el segundo, el coseno, como su derivada, y de esto se sigue que la derivada del coseno es la negativa del seno. La identidad es equivalente a la afirmación de que la función
es constante e igual a 1. La diferenciación mediante la regla de la cadena da:
entonces z es constante por el teorema del valor medio . Un cálculo confirma que z (0) = 1, yz es una constante por lo que z = 1 para todo x , por lo que se establece la identidad pitagórica.
Se puede completar una demostración similar usando series de potencias como arriba para establecer que el seno tiene como derivada el coseno y el coseno tiene como derivada el seno negativo. De hecho, las definiciones por ecuación diferencial ordinaria y por series de potencia conducen a derivaciones similares de la mayoría de las identidades.
Esta prueba de la identidad no tiene conexión directa con la demostración de Euclides del teorema de Pitágoras.
Ver también
Notas
- ^ Lawrence S. Leff (2005). Precálculo de la manera fácil (7ª ed.). Serie educativa de Barron. pag. 296 . ISBN 0-7641-2892-2.
- ^ Este resultado se puede encontrar usando la fórmula de distancia para la distancia desde el origen hasta el punto . Ver Cynthia Y. Young (2009). Álgebra y trigonometría (2ª ed.). Wiley. pag. 210. ISBN 0-470-22273-5.Este enfoque asume el teorema de Pitágoras. Alternativamente, uno podría simplemente sustituir valores y determinar que la gráfica es un círculo.
- ^ Thomas W. Hungerford , Douglas J. Shaw (2008). "§6.2 Las funciones seno, coseno y tangente". Precálculo contemporáneo: un enfoque gráfico (5ª ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 442. ISBN 0-495-10833-2.
- ^ James Douglas Hamilton (1994). "Serie de potencia". Análisis de series de tiempo . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 714. ISBN 0-691-04289-6.
- ^ Steven George Krantz (2005). "Definición 10.3". Análisis real y fundamentos (2ª ed.). Prensa CRC. págs. 269-270. ISBN 1-58488-483-5.
- ^ Tyn Myint U., Lokenath Debnath (2007). "Ejemplo 8.12.1". Ecuaciones diferenciales parciales lineales para científicos e ingenieros (4ª ed.). Saltador. pag. 316. ISBN 0-8176-4393-1.