Gran circulo
Un círculo máximo , también conocido como ortodrómetro , de una esfera es la intersección de la esfera y un plano que pasa por el punto central de la esfera. Un gran círculo es el círculo más grande que se puede dibujar en cualquier esfera dada. Cualquier diámetro de cualquier círculo máximo coincide con un diámetro de la esfera y, por lo tanto, todos los círculos máximos tienen el mismo centro y circunferencia entre sí. Este caso especial de un círculo de una esfera es en oposición a un círculo pequeño , es decir, la intersección de la esfera y un plano que no pasa por el centro. Cada círculo enEl 3-espacio euclidiano es un gran círculo de exactamente una esfera.
Para la mayoría de los pares de puntos distintos en la superficie de una esfera, existe un gran círculo único que pasa por los dos puntos. La excepción es un par de puntos antípodas , para los cuales hay infinitos círculos máximos. El arco menor de un gran círculo entre dos puntos es el camino de superficie más corto entre ellos. En este sentido, el arco menor es análogo a las “líneas rectas” en la geometría euclidiana . La longitud del arco menor de un círculo máximo se toma como la distancia entre dos puntos en una superficie de una esfera en la geometría de Riemann, donde tales círculos máximos se denominan círculos de Riemann . Estos grandes círculos son las geodésicas de la esfera.
El disco delimitado por un gran círculo se llama gran disco : es la intersección de una bola y un plano que pasa por su centro. En dimensiones superiores, los círculos máximos de la n - esfera son la intersección de la n -esfera con 2 planos que pasan por el origen en el espacio euclidiano R n + 1 .
Para demostrar que el arco menor de un gran círculo es el camino más corto que conecta dos puntos en la superficie de una esfera, se le puede aplicar el cálculo de variaciones .
Considere la clase de todos los caminos regulares de un punto a otro punto . Introduce coordenadas esféricas de forma que coincida con el polo norte. Cualquier curva en la esfera que no se interseca con ninguno de los polos, excepto posiblemente en los puntos finales, se puede parametrizar mediante
siempre que permitamos tomar valores reales arbitrarios. La longitud de arco infinitesimal en estas coordenadas es
