Ball (matemáticas)

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En el espacio euclidiano , una bola es el volumen delimitado por una esfera.

En matemáticas , una pelota es el espacio volumétrico delimitado por una esfera ; también se le llama esfera sólida . ^[1] Puede ser una bola cerrada (incluidos los puntos limítrofes que constituyen la esfera) o una bola abierta (excluyéndolos).

Estos conceptos se definen no solo en el espacio euclidiano tridimensional sino también para dimensiones inferiores y superiores, y para espacios métricos en general. Una bola o HyperBall en $n$ dimensiones se denomina $n$ -ball y está delimitada por un ( $n - 1$ ) -sphere . Así, por ejemplo, una bola en el plano euclidiano es lo mismo que un disco , el área delimitada por un círculo . En el espacio tridimensional euclidiano , se considera que una bola es el volumen delimitado por una esfera bidimensional . en unespacio unidimensional , una bola es un segmento de línea .

En otros contextos, como en la geometría euclidiana y el uso informal, la esfera a veces se usa para significar pelota .

En el espacio euclidiano [ editar ]

En euclidiano $n$ -espacio, una (abierto) $n$ -ball de radio $r$ y centro de $x$ es el conjunto de todos los puntos de distancia de menos de $r$ de $x$ . Una $n-$ bola cerrada de radio $r$ es el conjunto de todos los puntos de distancia menor o igual a $r$ lejos de $x$ .

En el espacio $n$ euclidiano , cada bola está delimitada por una hiperesfera . La bola es un intervalo acotado cuando $n = 1$ , es un disco acotado por un círculo cuando $n = 2$ y está acotado por una esfera cuando $n = 3$ .

Volumen [ editar ]

El volumen $n-$ dimensional de una bola euclidiana de radio $R$ en el espacio euclidiano $n-$ dimensional es: ^[2]

{\ Displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} + 1 \ right) }} R ^ {n},}

donde $Γ$ es Leonhard Euler 's función gamma (que puede ser pensado como una extensión de la factorial función para argumentos fraccionarios). El uso de fórmulas explícitas para valores particulares de la función gamma en los enteros y medios enteros da fórmulas para el volumen de una bola euclidiana que no requieren una evaluación de la función gamma. Estos son:

{\begin{aligned}V_{2k}(R)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(R)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}\,.\end{aligned}}

En la fórmula para volúmenes de dimensiones impares, el factorial doble $(2 k + 1) !!$ se define para enteros impares $2 k + 1$ como $(2 k + 1) !! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 k - 1) \cdot (2 k + 1)$ .

En espacios métricos generales [ editar ]

Sea $(M, d)$ un espacio métrico , es decir, un conjunto $M$ con una métrica (función de distancia) $d$ . La bola abierta (métrica) de radio $r > 0$ centrada en un punto $p$ en $M$ , generalmente denotado por $B r (p)$ o $B (p; r)$ , se define por

B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},

La bola cerrada (métrica), que puede ser denotada por $B r [p]$ o $B [p; r]$ , se define por

B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.

Tenga en cuenta en particular que una bola (abierta o cerrada) siempre incluye la $p$ misma, ya que la definición requiere $r > 0$ .

El cierre de la bola abierta $B r (p)$ generalmente se denota $B r (p)$ . Si bien siempre ocurre que $B r (p) \subseteq B r (p) \subseteq B r [p]$ , no siempre es el caso de que $B r (p) = B r [p]$ . Por ejemplo, en un espacio métrico $X$ con la métrica discreta, Uno tiene $B 1 (p) = {p}$ y $B 1 [p] = X$ , para cualquier $p \in X$ .

Una bola unitaria (abierta o cerrada) es una bola de radio 1.

Un subconjunto de un espacio métrico está acotado si está contenido en alguna bola. Un conjunto está totalmente acotado si, dado cualquier radio positivo, está cubierto por un número finito de bolas de ese radio.

Las bolas abiertas de un espacio métrico pueden servir como base , dándole a este espacio una topología , cuyos conjuntos abiertos son todas posibles uniones de bolas abiertas. Esta topología en un espacio métrico se denomina topología inducida por la métrica $d$ .

En espacios vectoriales normativos [ editar ]

Cualquier espacio vectorial normado $V$ con norma es también un espacio métrico con la métrica.En tales espacios, una bola arbitraria de puntos alrededor de un punto con una distancia menor que puede verse como una copia escalada (por ) y traducida (por ) de un bola unitaria Tales bolas "centradas" con se denotan con $\|\cdot \|$ $d(x,y)=\|x-y\|.$ $B_{r}(y)$ $x$ $y$ $r$ $r$ $y$ $B_{1}(0).$ $y=0$ $B(r).$

Las bolas euclidianas discutidas anteriormente son un ejemplo de bolas en un espacio vectorial normalizado.

$p$ -norm [ editar ]

En un espacio cartesiano $ℝ n$ con la p -norm $L p$ , es decir

\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},

una bola abierta alrededor del origen con radio viene dada por el conjunto $r$

B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<r\right\}.

Para $n = 2$ , en un plano bidimensional , las "bolas" de acuerdo con la norma $L$ $1$ (a menudo llamada taxi o métrica de Manhattan ) están delimitadas por cuadrados con sus diagonales paralelas a los ejes de coordenadas; los de acuerdo con la norma $L$ $\infty$ , también llamada métrica de Chebyshev , tienen cuadrados con sus lados paralelos a los ejes de coordenadas como límites. La norma $L$ $2$ , conocida como métrica euclidiana, genera los conocidos discos dentro de círculos, y para otros valores de $p$ , las bolas correspondientes son áreas delimitadas por $\mathbb {R} ^{2}$ Curvas de Lamé (hipoelipsis o hiperelipsis).

Para $n = 3$ , la $L 1$ - bolas están dentro de octaedros con ejes alineados diagonales del cuerpo , los $L \infty$ -balls se encuentran dentro de los cubos con ejes alineados con los bordes , y los límites de bolas para $L p$ con $p > 2$ son superellipsoids . Obviamente, $p = 2$ genera el interior de las esferas habituales.

Norma general convexa [ editar ]

Más en general, dado cualquier centralmente simétrica , delimitada , abierto , y convexa subconjunto $X$ de $ℝ n$ , se puede definir una norma en $ℝ n$ donde las bolas están traducidos y uniformemente escaladas copias de $X$ . Tenga en cuenta que este teorema no se cumple si el subconjunto "abierto" se reemplaza por un subconjunto "cerrado", porque el punto de origen califica pero no define una norma sobre $ℝ n$ .

En espacios topológicos [ editar ]

Se puede hablar de bolas en cualquier espacio topológico $X$ , no necesariamente inducidas por una métrica. Una bola topológica $n-$ dimensional (abierta o cerrada) de $X$ es cualquier subconjunto de $X$ que es homeomórfico a una bola $n$ euclidiana (abierta o cerrada) . Las $n-$ bolas topológicas son importantes en la topología combinatoria , ya que son los componentes básicos de los complejos de células .

Cualquier $n-$ bola topológica abierta es homeomórfica para el espacio cartesiano $ℝ n$ y para la unidad abierta n -cube (hipercubo) $(0, 1) n \subseteq ℝ n$ . Cualquier $n-$ bola topológica cerrada es homeomorfa al $n$ -cube cerrado $[0, 1] n$ .

Una bola $n$ es homeomorfa a una bola $m$ si y solo si $n = m$ . Los homeomorfismos entre una abierta $n$ -ball $B$ y $ℝ n$ se pueden clasificar en dos clases, que se pueden identificar con las dos posibles orientaciones topológicos de $B$ .

Una bola $n$ topológica no necesita ser suave ; si es suave, no necesita ser difeomórfico a una bola $n$ euclidiana .

Regiones [ editar ]

Se pueden definir varias regiones especiales para una pelota:

gorra , delimitada por un plano
sector , delimitado por un límite cónico con vértice en el centro de la esfera
segmento , delimitado por un par de planos paralelos
cáscara , limitada por dos esferas concéntricas de diferentes radios
cuña , delimitada por dos planos que pasan a través de un centro de esfera y la superficie de la esfera

Ver también [ editar ]

Bola - significado ordinario
Disco (matemáticas)
Bola formal , una extensión de los radios negativos
Barrio (matemáticas)
3 esferas
n -esfera o hiperesfera
Esfera con cuernos de Alejandro
Colector
Volumen de una bola n
Octaedro : una bola 3 en la métrica $l 1$ .

Referencias [ editar ]

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^ [1]
^ Ecuación 5.19.4, Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST. http://dlmf.nist.gov/ ,^{[ enlace muerto permanente ]} Versión 1.0.6 de 2013-05-06.

Smith, DJ; Vamanamurthy, MK (1989). "¿Qué tan pequeña es una bola unitaria?". Revista de Matemáticas . 62 (2): 101–107. doi : 10.1080 / 0025570x.1989.11977419 . JSTOR 2690391 .
Dowker, JS (1996). "Condiciones de Robin en la bola euclidiana". Gravedad clásica y cuántica . 13 (4): 585–610. arXiv : hep-th / 9506042 . Código bibliográfico : 1996CQGra..13..585D . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 13/4/003 .
Gruber, Peter M. (1982). "Isometrías del espacio de cuerpos convexos contenidos en una bola euclidiana". Revista de Matemáticas de Israel . 42 (4): 277–283. doi : 10.1007 / BF02761407 .

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[2] Ecuación 5.19.4, Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST. http://dlmf.nist.gov/ ,^{[ enlace muerto permanente ]} Versión 1.0.6 de 2013-05-06.

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