Continuación analítica numérica

En la física de muchos cuerpos , el problema de la continuación analítica es el de extraer numéricamente la densidad espectral de una función de Green dados sus valores en el eje imaginario. Es un paso de posprocesamiento necesario para calcular las propiedades dinámicas de los sistemas físicos a partir de simulaciones cuánticas de Monte Carlo , que a menudo calculan los valores de la función de Green solo en tiempos imaginarios o frecuencias de Matsubara .

Matemáticamente, el problema se reduce a resolver una ecuación integral de Fredholm del primer tipo con un núcleo mal acondicionado. Como resultado, es un problema inverso mal planteado sin una solución única y donde un pequeño ruido en la entrada conduce a grandes errores en la solución no regularizada . Existen diferentes métodos para resolver este problema, incluido el método de máxima entropía, ^[1]^[2]^[3]^[4] el método del espectro promedio ^[5]^[6]^[7]^[8] y los métodos de aproximación Pade. ^[9]^[10]

Un problema de continuación analítico común es obtener la función espectral en frecuencias reales a partir de los valores de la función de Green en las frecuencias de Matsubara invirtiendo numéricamente la ecuación integral ${\ textstyle A (\ omega)}$ ${\ textstyle \ omega}$ ${\ textstyle {\ mathcal {G}} (i \ omega _ {n})}$ ${\ textstyle \ omega _ {n}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (i \ omega _ {n}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ omega} {2 \ pi}} {\ frac {1} {i \ omega _ {n} - \ omega}} \; A (\ omega)}$

donde para fermionic sistemas o para bosónicos queridos y es la temperatura inversa. Esta relación es un ejemplo de la relación Kramers-Kronig . ${\ textstyle \ omega _ {n} = (2n + 1) \ pi / \ beta}$ ${\ textstyle \ omega _ {n} = 2n \ pi / \ beta}$ ${\ textstyle \ beta = 1 / T}$

La función espectral también se puede relacionar con la función de Green en tiempo imaginario aplicando la transformada de Fourier inversa a la ecuación anterior ${\ textstyle {\ mathcal {G}} (\ tau)}$