categoría Grothendieck
En matemáticas , una categoría de Grothendieck es un cierto tipo de categoría abeliana , introducida en el artículo Tôhoku de Alexander Grothendieck de 1957 [1] para desarrollar la maquinaria del álgebra homológica para módulos y poleas de manera unificada. La teoría de estas categorías se desarrolló aún más en la tesis fundamental de Pierre Gabriel en 1962. [2]
A cada variedad algebraica se le puede asociar una categoría de Grothendieck , que consiste en las gavillas cuasi-coherentes sobre . Esta categoría codifica toda la información geométrica relevante sobre y se puede recuperar de (el teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg ). Este ejemplo da lugar a un enfoque de la geometría algebraica no conmutativa : el estudio de las "variedades no conmutativas" no es más que el estudio de (ciertas) categorías de Grothendieck. [3]
Por definición, una categoría de Grothendieck es una categoría AB5 con un generador . Expresado, esto significa que
El nombre "categoría de Grothendieck" no apareció ni en el artículo de Tôhoku de Grothendieck [1] ni en la tesis de Gabriel; [2] entró en uso en la segunda mitad de la década de 1960 en el trabajo de varios autores, incluidos Jan-Erik Roos, Bo Stenström, Ulrich Oberst y Bodo Pareigis. (Algunos autores usan una definición diferente en el sentido de que no requieren la existencia de un generador).
Cada categoría de Grothendieck contiene un cogenerador de inyección . Por ejemplo, un cogenerador inyectivo de la categoría de grupos abelianos es el grupo cociente .
Cada objeto en una categoría de Grothendieck tiene un casco inyectivo en . [1] [2] Esto permite construir resoluciones inyectivas y con ello el uso de las herramientas del álgebra homológica en , para definir funtores derivados . (Tenga en cuenta que no todas las categorías de Grothendieck permiten resoluciones proyectivas para todos los objetos; ejemplos son categorías de haces de grupos abelianos en muchos espacios topológicos, como en el espacio de los números reales).