En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , una familia de generadores (o familia de separadores ) de una categoría es una colección de objetos, indexados por algún conjunto I , de modo que para dos morfismos cualesquiera en Si entonces hay algo de yo en yo y algo de morfismo tal que Si la familia consta de un solo objeto G , decimos que es un generador (o separador ).
Los generadores son fundamentales para la definición de las categorías de Grothendieck .
El concepto dual se denomina cogenerador o coseparador .
Ejemplos de
- En la categoría de grupos abelianos , el grupo de enteroses un generador: si f y g son diferentes, entonces hay un elemento, tal que . De ahí el mapa es suficiente.
- De manera similar, el conjunto de un punto es un generador para la categoría de conjuntos . De hecho, cualquier aparato que no esté vacío es un generador.
- En la categoría de conjuntos , cualquier conjunto con al menos dos elementos es un cogenerador.
- En la categoría de módulos sobre un anillo R , un generador en una suma directa finita consigo mismo contiene una copia isomorfa de R como un sumando directo. En consecuencia, un módulo generador es fiel, es decir, tiene cero aniquilador .
Referencias
- Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2, pag. 123, sección V.7