Un espacio de girovector es un concepto matemático propuesto por Abraham A. Ungar para estudiar la geometría hiperbólica en analogía con la forma en que se utilizan los espacios vectoriales en la geometría euclidiana . [1] Ungar introdujo el concepto de girovectores que tienen sumas basadas en giroscopios en lugar de vectores que tienen sumas basadas en grupos . Ungar desarrolló su concepto como una herramienta para la formulación de la relatividad especial como una alternativa al uso de transformaciones de Lorentz para representar composiciones de velocidades (también llamadas impulsos - los "impulsos" son aspectos de velocidades relativas, y no debe combinarse con " traducciones "). Esto se logra mediante la introducción de "operadores giroscópicos"; Se utilizan dos vectores de velocidad 3D para construir un operador, que actúa sobre otra velocidad 3D.
Nombre
Los giroscopios son estructuras grupales débilmente asociativas. Ungar propuso el término gyrogroup para lo que él llamó un gyrocommutative-gyrogroup, con el término gyrogroup reservado para el caso no gyrocommutative, en analogía con grupos vs. grupos abelianos. Los Gyrogroups son un tipo de bucle de Bol . Los giroscopios giroconmutativos son equivalentes a los bucles K [2] aunque se definen de manera diferente. También se utilizan los términos bucle de Bruck [3] y conjunto de símbolos diádicos [4] .
Matemáticas de los espacios giroscópicos.
Gyrogroups
Axiomas
Un magma ( G ,) es un girogrupo si su operación binaria satisface los siguientes axiomas:
- En G hay al menos un elemento 0 llamado identidad izquierda con 0un = una para todos un ∈ G .
- Para cada a ∈ G hay un elementoa en G llamado inversa izquierda de a conaa = 0.
- Para cualquier a , b , c en G existe un elemento único gyr [ a , b ] c en G tal que la operación binaria obedece a la ley del giroasociativo izquierdo: a( bc ) = ( ab )gyr [ a , b ] c
- El mapa gyr [ a , b ]: G → G dado por c → gyr [ a , b ] c es un automorfismo del magma ( G ,). Es decir, gyr [ a , b ] es miembro de Aut ( G ,) Y la gyr automorphism [ un , b ] de G se denomina gyroautomorphism de G generada por una , b en G . La operación gyr: G × G → Aut ( G , ) Se llama el girador de G .
- El giroautomorfismo gyr [ a , b ] tiene la propiedad de bucle izquierdo gyr [ a , b ] = gyr [ ab , b ]
El primer par de axiomas son como los axiomas de grupo . El último par presenta los axiomas giratorios y el axioma medio vincula los dos pares.
Dado que un girogrupo tiene inversas y una identidad, califica como un cuasigrupo y un bucle .
Los giroscopios son una generalización de grupos . Cada grupo es un ejemplo de giroscopio con gyr definido como mapa de identidad.
En [5] se da un ejemplo de un girogrupo finito .
Identidades
Algunas identidades que se mantienen en cualquier giroscopio (G,):
- (giro)
- (asociatividad izquierda)
- (asociatividad derecha)
Además, se puede probar la ley de inversión de giro, que es la motivación para la definición de giroconmutatividad a continuación:
- (ley de inversión de giro)
Algunos teoremas adicionales satisfechos por el grupo de giro de cualquier giroscopio incluyen:
- (giros de identidad)
- (ley de inversión de giroautomorfismo)
- (giro incluso propiedad)
- (propiedad de bucle derecho)
- (propiedad de bucle izquierdo)
Más identidades dadas en la página 50 de [6] .
Gyrocommutativity
Un girogrupo (G,) es giroconmutativo si su operación binaria obedece a la ley giroconmutativa: a b = gyr [a, b] (b a). Para la adición de velocidad relativista, esta fórmula que muestra el papel de la rotación en relación a + byb + a fue publicada en 1914 por Ludwik Silberstein [7] [8]
Coadición
En cada girogrupo, se puede definir una segunda operación denominada coadición : una b = a gyr [a,b] b para todo a, b ∈ G. La coadición es conmutativa si la adición del girogrupo es giroconmutativo.
Modelo de bola / disco de Beltrami-Klein y adición de Einstein
Las velocidades relativistas se pueden considerar como puntos en el modelo Beltrami-Klein de geometría hiperbólica y, por lo tanto, la suma de vectores en el modelo Beltrami-Klein se puede dar mediante la fórmula de adición de velocidades . Para que la fórmula se generalice a la suma de vectores en el espacio hiperbólico de dimensiones mayores que 3, la fórmula debe escribirse en una forma que evite el uso del producto cruzado a favor del producto escalar .
En el caso general, la suma de la velocidad de Einstein de dos velocidades y se da en forma independiente de coordenadas como:
dónde es el factor gamma dado por la ecuación .
Usando coordenadas esto se convierte en:
dónde .
La suma de velocidades de Einstein es conmutativa y asociativa solo cuando y son paralelos . De echo
y
donde "gyr" es la abstracción matemática de la precesión de Thomas en un operador llamado giro de Thomas y dado por
para todos los w . La precesión de Thomas tiene una interpretación en geometría hiperbólica como el defecto del triángulo hiperbólico negativo .
Composición de transformación de Lorentz
Si la forma de matriz de 3 × 3 de la rotación aplicada a las 3 coordenadas está dada por gyr [ u , v ], entonces la rotación de la matriz de 4 × 4 aplicada a las 4 coordenadas viene dada por:
- . [9]
La composición de dos impulsos de Lorentz B ( u ) y B ( v ) de velocidades u y v está dada por: [9] [10]
Este hecho de que B ( uv ) o B ( vu ) se puede usar dependiendo de si escribe la rotación antes o después de que explique la paradoja de la composición de la velocidad .
La composición de dos transformaciones de Lorentz L ( u , U) y L ( v , V) que incluyen rotaciones U y V viene dada por: [11]
En lo anterior, un impulso se puede representar como una matriz de 4 × 4. La matriz de refuerzo B ( v ) significa el refuerzo B que utiliza las componentes de v , es decir, v 1 , v 2 , v 3 en las entradas de la matriz, o más bien las componentes de v / c en la representación que se utiliza en la matriz. sección Transformación de Lorentz # Formas matriciales . Las entradas de la matriz dependen de los componentes de la velocidad de 3 v , y eso es lo que significa la notación B ( v ). Se podría argumentar que las entradas dependen de los componentes de la velocidad 4 porque 3 de las entradas de la velocidad 4 son las mismas que las entradas de la velocidad 3, pero la utilidad de parametrizar el impulso por 3 velocidades es que el impulso resultante que obtiene de la composición de dos impulsos utiliza los componentes de la composición de 3 velocidades uv en la matriz B de 4 × 4 ( uv ). Pero el impulso resultante también debe multiplicarse por una matriz de rotación porque la composición del impulso (es decir, la multiplicación de dos matrices 4 × 4) no da como resultado un impulso puro sino un impulso y una rotación, es decir, una matriz 4 × 4 que corresponde a la rotación Gyr [ u , v ] para obtener B ( u ) B ( v ) = B ( uv ) Gyr [ u , v ] = Gyr [ u , v ] B ( vu ).
Espacios giroscópicos de Einstein
Sea s cualquier constante positiva, sea (V, + ,.) cualquier espacio de producto interno real y sea V s = { v ∈ V: | v | Un espacio de girovector de Einstein ( }.>V s , , ) es un giroscopio de Einstein ( V s , ) con multiplicación escalar dada por rv = s tanh ( r tanh −1 (| v | / s )) v / | v | donde r es cualquier número real, v ∈ V s , v ≠ 0 y r 0 = 0 con la notación v r = r v .
La multiplicación escalar de Einstein no se distribuye sobre la suma de Einstein excepto cuando los giroscopios son colineales (monodistributividad), pero tiene otras propiedades de los espacios vectoriales: para cualquier entero positivo n y para todos los números reales r , r 1 , r 2 y v ∈ V s ' :
norte v = v ... v | n términos |
( r 1 + r 2 ) v = r 1 v r 2 v | Ley distributiva escalar |
( r 1 r 2 ) v = r 1 ( r 2 v ) | Ley asociativa escalar |
r ( r 1 a r 2 a ) = r ( r 1 a ) r ( r 2 a ) | Ley monodistributiva |
Modelo de disco / bola de Poincaré y adición de Möbius
La transformación de Möbius del disco unitario abierto en el plano complejo viene dada por la descomposición polar
- que se puede escribir como que define la adición de Möbius .
Para generalizar esto a dimensiones superiores, los números complejos se consideran vectores en el plano. , y la suma de Möbius se reescribe en forma vectorial como:
Esto da la suma vectorial de puntos en el modelo de bola de Poincaré de geometría hiperbólica donde s = 1 para el disco unitario complejo ahora se convierte en cualquier s> 0.
Espacios de gyrovector de Möbius
Sea s cualquier constante positiva, sea (V, + ,.) cualquier espacio de producto interno real y sea V s = { v ∈ V: | v | Un espacio de girovector de Möbius ( }.>V s , , ) es un giroscopio de Möbius ( V s , ) con multiplicación escalar dada por r v = s tanh ( r tanh −1 (| v | / s )) v / | v | donde r es cualquier número real, v ∈ V s , v ≠ 0 y r 0 = 0 con la notación v r = r v .
La multiplicación escalar de Möbius coincide con la multiplicación escalar de Einstein (ver la sección anterior) y esto se debe a que la suma de Möbius y la suma de Einstein coinciden para vectores que son paralelos.
Modelo de espacio de velocidad adecuado y adición de velocidad adecuada
Un modelo de espacio de velocidad adecuado de la geometría hiperbólica viene dado por las velocidades adecuadas con la suma de vectores dada por la fórmula de adición de velocidad adecuada: [6] [12] [13]
dónde es el factor beta dado por .
Esta fórmula proporciona un modelo que utiliza un espacio completo en comparación con otros modelos de geometría hiperbólica que utilizan discos o semiplanos.
Un espacio de girovector de velocidad adecuado es un espacio de producto interno real V, con la adición de giroscopio de velocidad adecuada y con multiplicación escalar definida por r v = s senh ( r senh −1 (| v | / s )) v / | v | donde r es cualquier número real, v ∈ V , v ≠ 0 y r 0 = 0 con la notación v r = r v .
Isomorfismos
Un isomorfismo espacial de girovector conserva la suma de giroscopios y la multiplicación escalar y el producto interno.
Los tres espacios de girovector Möbius, Einstein y Proper Velocity son isomorfos.
Si M, E y U son espacios de girovector de Möbius, Einstein y velocidad propia respectivamente con elementos v m , v e y v u, entonces los isomorfismos están dados por:
miU por |
UE por |
miM por |
METROE por |
METROU por |
UM por |
De esta tabla la relación entre y viene dado por las ecuaciones:
Esto está relacionado con la conexión entre las transformaciones de Möbius y las transformaciones de Lorentz .
Girotrigonometría
La girotrigonometría es el uso de giroconceptos para estudiar triángulos hiperbólicos .
La trigonometría hiperbólica, como se suele estudiar, utiliza las funciones hiperbólicas cosh, sinh, etc., y esto contrasta con la trigonometría esférica que utiliza las funciones trigonométricas euclidianas cos, sin, pero con identidades de triángulos esféricos en lugar de identidades de triángulos planos ordinarios . La girotrigonometría adopta el enfoque de utilizar las funciones trigonométricas ordinarias pero junto con las identidades de los girotriangulos.
Centros triangulares
El estudio de los centros de los triángulos tradicionalmente se relaciona con la geometría euclidiana, pero los centros de los triángulos también se pueden estudiar en la geometría hiperbólica. Usando la girotrigonometría, se pueden calcular expresiones para coordenadas baricéntricas trigonométricas que tienen la misma forma tanto para la geometría euclidiana como para la hiperbólica. Para que las expresiones coincidan, las expresiones no deben encapsular la especificación de que la suma angular sea de 180 grados. [14] [15] [16]
Adición de giroparalelogramo
Utilizando la girotrigonometría, se puede encontrar una adición de girovector que opera de acuerdo con la ley del giro paralelogramo. Esta es la coadición a la operación del girogrupo. La adición de giroparalelogramo es conmutativa.
La ley del giroparalelogramo es similar a la ley del paralelogramo en que un giroparalelogramo es un cuadrilátero hiperbólico cuyas dos girodiagonales se cruzan en sus puntos gyromid, al igual que un paralelogramo es un cuadrilátero euclidiano cuyas dos diagonales se cruzan en sus puntos medios. [17]
Vectores de bloch
Los vectores de Bloch que pertenecen a la bola unitaria abierta del espacio tridimensional euclidiano se pueden estudiar con la adición de Einstein [18] o la adición de Möbius. [6]
Reseñas de libros
Una revisión de uno de los primeros libros de gyrovector [19] dice lo siguiente:
"A lo largo de los años, ha habido un puñado de intentos de promover el estilo no euclidiano para su uso en la resolución de problemas en relatividad y electrodinámica, cuyo fracaso para atraer seguidores sustanciales, agravado por la ausencia de resultados positivos debe dar lugar a una pausa. a cualquiera que esté considerando una empresa similar. Hasta hace poco, nadie estaba en condiciones de ofrecer una mejora en las herramientas disponibles desde 1912. En su nuevo libro, Ungar proporciona el elemento crucial que falta en la panoplia del estilo no euclidiano: un elegante formalismo algebraico no asociativo que explota completamente la estructura de la ley de composición de la velocidad de Einstein ". [20]
notas y referencias
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- Roman Ulrich Sexl, Helmuth Kurt Urbantke, (2001), "Relatividad, grupos, partículas: relatividad especial y simetría relativista en la física de campos y partículas", páginas 141-142, Springer, ISBN 3-211-83443-5 , ISBN 978-3-211-83443-5
enlaces externos
- La relatividad especial de Einstein: el punto de vista geométrico hiperbólico
- "Trigonometría hiperbólica y su aplicación en el modelo de bola de Poincaré de geometría hiperbólica". CiteSeerX 10.1.1.17.6107 . Cite journal requiere
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