Rudolf Haag postuló que la imagen de interacción no existe en una teoría de campo cuántica relativista e interactiva , [1] algo que ahora se conoce comúnmente como el teorema de Haag . La prueba original de Haag fue posteriormente generalizada por varios autores, en particular Hall & Wightman (1957), quienes llegaron a la conclusión de que una representación espacial única y universal de Hilbert no es suficiente para describir tanto los campos libres como los que interactúan. [2] Reed y Simon (1975) demostraron que un teorema similar a Haag también se aplica a campos escalares neutrales libres de diferentes masas, [3] lo que implica que la imagen de interacción no puede existir incluso en ausencia de interacciones.
Descripción formal
En su forma moderna, el teorema de Haag puede enunciarse de la siguiente manera: [4]
Considere dos representaciones fieles de las relaciones canónicas de conmutación , y (donde cada denota uno de los dos espacios de Hilbert y cada conjunto es la colección de operadores para el espacio respectivo en las relaciones de conmutación canónicas ).
Las dos representaciones se denominan unitariamente equivalentes si y solo si existe algún mapeo unitario desde el espacio de Hilbert al espacio de Hilbert tal que para todos [4]
La equivalencia unitaria es una condición necesaria para que ambas representaciones entreguen los mismos valores esperados de los correspondientes observables. El teorema de Haag establece que si las dos representaciones son representaciones unitariamente equivalentes de campos escalares, y ambas representaciones contienen un estado de vacío único , los dos estados de vacío están relacionados ellos mismos por la equivalencia unitaria. Por tanto, ninguno de los campos hamiltonianos puede polarizar el vacío del otro campo. Además, si los dos vacíos son invariantes de Lorentz, las primeras cuatro funciones de Wightman de los dos campos deben ser iguales.
En particular, si uno de los campos es gratuito, el otro también.
Este estado de cosas está en marcado contraste con la mecánica cuántica no relativista ordinaria , donde siempre hay una equivalencia unitaria entre las dos representaciones. Ese hecho se utiliza para construir la imagen de interacción , donde los operadores evolucionan utilizando una representación de campo libre, mientras que los estados evolucionan utilizando la representación de campo interactuante. Dentro del formalismo de la teoría cuántica de campos (QFT), tal imagen generalmente no existe, porque estas dos representaciones son unitariamente desiguales. Así, el teórico cuántico del campo se enfrenta al llamado problema de la elección : uno debe elegir la representación "correcta" entre un conjunto incontable-infinito de representaciones que no son equivalentes.
Punto de vista físico / heurístico
Como ya notó Haag en su trabajo original, es la polarización del vacío la que se encuentra en el núcleo del teorema de Haag. Cualquier campo cuántico que interactúa (incluidos los campos que no interactúan de diferentes masas) está polarizando el vacío y, como consecuencia, su estado de vacío se encuentra dentro de un espacio de Hilbert renormalizado. que difiere del espacio de Hilbert del campo libre. Aunque siempre se puede encontrar un isomorfismo que mapea un espacio de Hilbert en el otro, el teorema de Haag implica que tal mapeo no podría producir representaciones unitariamente equivalentes de las correspondientes relaciones de conmutación canónicas , es decir, resultados físicos inequívocos.
Soluciones alternativas
Entre los supuestos que conducen al teorema de Haag está la invariancia de traducción del sistema. En consecuencia, los sistemas que pueden establecerse dentro de una caja con condiciones de contorno periódicas o que interactúan con potenciales externos adecuados escapan a las conclusiones del teorema. [5]
Haag (1958) [6] y Ruelle (1962) [7] han presentado la teoría de la dispersión de Haag-Ruelle , que se ocupa de los estados libres asintóticos y, por tanto, sirve para formalizar algunos de los supuestos necesarios para la fórmula de reducción LSZ . [8] Sin embargo, estas técnicas no se pueden aplicar a partículas sin masa y tienen problemas sin resolver con los estados ligados.
Reacciones conflictivas de los teóricos del campo cuántico
Si bien algunos físicos y filósofos de la física han enfatizado repetidamente cuán seriamente el teorema de Haag está sacudiendo los fundamentos de QFT , la mayoría de los teóricos del campo cuántico en práctica simplemente descartan el tema. La mayoría de los textos de teoría cuántica de campos orientados a la apreciación práctica del modelo estándar de interacciones de partículas elementales ni siquiera lo mencionan, asumiendo implícitamente que se puede encontrar un conjunto riguroso de definiciones y procedimientos para reafirmar los resultados heurísticos poderosos y bien confirmados sobre los que informan. .
Por ejemplo, la estructura asintótica (compárese con los chorros de QCD ) es un cálculo específico que concuerda fuertemente con el experimento, pero sin embargo debería fallar a fuerza del teorema de Haag. La sensación general es que este no es un cálculo con el que simplemente se tropezó, sino que encarna una verdad física. Los cálculos prácticos y las herramientas están motivados y justificados por una apelación a un gran formalismo matemático llamado QFT . El teorema de Haag sugiere que el formalismo no está bien fundado, pero los cálculos prácticos están lo suficientemente lejos del formalismo generalizado como para que cualquier debilidad no afecte (o invalide) los resultados prácticos.
Como señaló Teller (1997): [9]
Todos deben estar de acuerdo en que, como parte de las matemáticas, el teorema de Haag es un resultado válido que al menos parece cuestionar la base matemática de la teoría cuántica de campos interactivos, y estar de acuerdo en que, al mismo tiempo, la teoría ha demostrado ser asombrosamente exitosa en su aplicación a resultados experimentales. . [9]
Lupher (2005) [10] sugirió que la amplia gama de reacciones conflictivas al teorema de Haag puede deberse en parte al hecho de que el mismo existe en diferentes formulaciones, que a su vez se probaron dentro de diferentes formulaciones de QFT como el enfoque axiomático de Wightman o el Fórmula LSZ . [10] Según Lupher,
Los pocos que lo mencionan tienden a considerarlo como algo importante que alguien (más) debería investigar a fondo. [10]
Sklar (2000) [11] señaló además:
Puede haber una presencia dentro de una teoría de problemas conceptuales que parecen ser el resultado de artefactos matemáticos. Para el teórico, éstos no parecen ser problemas fundamentales arraigados en algún profundo error físico de la teoría, sino más bien la consecuencia de alguna desgracia en la forma en que se ha expresado la teoría. El teorema de Haag es, quizás, una dificultad de este tipo. [11]
Wallace (2011) [12] ha comparado los méritos de QFT convencional con los de la teoría de campos cuánticos algebraicos (AQFT) y observó que
... la teoría de campos cuánticos algebraicos tiene representaciones unitariamente desiguales incluso en regiones espacialmente finitas, pero esta falta de equivalencia unitaria solo se manifiesta con respecto a los valores esperados en regiones espaciotemporales pequeñas arbitrarias , y estos son exactamente los valores esperados que no transmiten valores reales información sobre el mundo. [12]
Justifica la última afirmación con las ideas obtenidas de la teoría moderna de grupos de renormalización, a saber, el hecho de que
... podemos absorber todo nuestro desconocimiento de cómo se implementa el cutoff [es decir, el cutoff de corto alcance requerido para llevar a cabo el procedimiento de renormalización], en los valores de un número finito de coeficientes que se pueden medir empíricamente. [12]
Con respecto a las consecuencias del teorema de Haag, la observación de Wallace [12] implica que dado que QFT no intenta predecir parámetros fundamentales, como masas de partículas o constantes de acoplamiento, los efectos potencialmente dañinos que surgen de representaciones unitariamente no equivalentes permanecen absorbidos dentro de los valores empíricos que derivan a partir de mediciones de estos parámetros (en una escala de longitud determinada) y que se importan fácilmente a QFT . Por lo tanto, permanecen invisibles para los teóricos del campo cuántico, en la práctica.
Referencias
- ^ Haag, Rudolf (1955). "Sobre las teorías cuánticas de campos" (PDF) . Matematisk-fysiske Meddelelser . 29 : 12.
- ^ Hall, Dick; Wightman, AS (1957). "Un teorema sobre funciones analíticas invariantes con aplicaciones a la teoría relativista de campos cuánticos". Matematisk-fysiske Meddelelser . 31 : 1.
- ^ Reed, Michael C .; Simon, Barry (1975). Análisis de Fourier, autoadministración . Métodos de la física matemática moderna. II . Nueva York, NY: Academic Press. Teorema X.46.
- ^ a b Earman, John; Fraser, Doreen (2006). "Teorema de Haag y sus implicaciones para los fundamentos de la teoría cuántica de campos" . Erkenntnis . 64 (305) - a través de philsci-archive.
- ^ Reed, Michael C .; Simon, Barry (1979). Teoría de la dispersión . Métodos de la física matemática moderna. III . Nueva York, NY: Academic Press.
- ^ Haag, R. (1958). "Teorías cuánticas de campos con partículas compuestas y condiciones asintóticas". Revisión física . 112 (2): 669–673. Código bibliográfico : 1958PhRv..112..669H . doi : 10.1103 / PhysRev.112.669 .
- ^ Ruelle, David (1962). "Sobre la condición asintótica en la teoría cuántica de campos". Helvetica Physica Acta . 35 : 147-163.
- ^ Fredenhagen, Klaus (2009). Teoría cuántica de campos (PDF) . Notas de lectura. Universität Hamburg .
- ^ a b Teller, Paul (1997). Una introducción interpretativa a la teoría cuántica de campos . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 115.
- ^ a b c Lupher, Tracy (2005). "¿Quién demostró el teorema de Haag?". Revista Internacional de Física Teórica . 44 (11): 1993-2003. Código bibliográfico : 2005IJTP ... 44.1995L . doi : 10.1007 / s10773-005-8977-z .
- ^ a b Sklar, Lawrence (2000). Teoría y verdad: crítica filosófica dentro de la ciencia fundamental . Prensa de la Universidad de Oxford.
- ^ a b c d Wallace, David (2011). "Tomando en serio la física de partículas: una crítica del enfoque algebraico de la teoría cuántica de campos". Estudios de Historia y Filosofía de la Ciencia . Parte B: Estudios de Historia y Filosofía de la Física Moderna. 42 (2): 116-125.
Otras lecturas
- Fraser, Doreen (2006). Teorema de Haag e interpretación de las teorías cuánticas de campos con interacciones (tesis doctoral). Universidad de Pittsburgh .
- Arageorgis, A. (1995). Campos, partículas y curvatura: fundamentos y aspectos filosóficos de la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo (tesis doctoral). Universidad de Pittsburgh .
- Bain, J. (2000). "Contra la dualidad partícula / campo: estados de partículas asintóticas y campos de interpolación en la interacción QFT (o: ¿Quién tiene miedo del teorema de Haag?)". Erkenntnis . 53 (3): 375–406. doi : 10.1023 / A: 1026482100470 .