En matemáticas, un plano de Hall es un plano proyectivo no desarguesiano construido por Marshall Hall Jr. (1943). [1] Hay ejemplos de ordenpara cada primo py cada entero positivo n proporcionado. [2]
Construcción algebraica mediante sistemas Hall
La construcción original de los planos Hall se basó en el cuasifield Hall (también llamado sistema Hall ), H de ordenpara p un primo. La creación del plano a partir del cuasifield sigue la construcción estándar (ver cuasifield para más detalles).
Para construir un cuasifield Hall, comience con un campo Galois ,para p un polinomio primo y cuadrático irreduciblesobre F . Ampliar, un espacio vectorial bidimensional sobre F , a un cuasi campo definiendo una multiplicación de los vectores por Cuándo y de lo contrario.
Escribiendo los elementos de H en términos de una base <1, λ>, es decir, la identificación de ( x , Y ) con x + λ y como x y y variar en F , podemos identificar los elementos de F como los pares ordenados ( x , 0), es decir, x + λ0. Las propiedades de la multiplicación definida que convierten el espacio vectorial derecho H en un cuasi campo son:
- todo elemento α de H que no esté en F satisface la ecuación cuadrática f (α) = 0;
- F está en el núcleo de H (lo que significa que (α + β) c = αc + βc, y (αβ) c = α (βc) para todo α, β en H y todo c en F ); y
- cada elemento de F conmuta (multiplicativa) con todos los elementos de H . [3]
Derivación
Otra construcción que produce planos Hall se obtiene aplicando derivación a planos desarguesianos .
Un proceso, debido a TG Ostrom, que reemplaza ciertos conjuntos de líneas en un plano proyectivo por conjuntos alternos de tal manera que la nueva estructura sigue siendo un plano proyectivo se llama derivación . Damos los detalles de este proceso. [4] Comienza con un plano proyectivo de orden y designa una línea como su línea en el infinito . Sea A el plano afín . Un conjunto D de puntos de se llama un conjunto de derivación si para cada par de puntos distintos X e Y de A que determinan una línea que se encuentraen un punto de D , hay un subplano de Baer que contiene X , Y y D (decimos que tales subplanos de Baer pertenecen a D ). Definir un nuevo plano afín de la siguiente manera: Los puntos de son los puntos de A . Las lineas de son las lineas de que no cumplen en un punto de D (restringido a A ) y los subplanos Baer que pertenecen a D (restringido a A ). El conjunto es un plano afín de orden y éste, o su terminación proyectiva, se llama plano derivado . [5]
Propiedades
- Los planos de pasillo son planos de traslación .
- El plano de Hall de orden 9 es el único plano proyectivo de Lenz-Barlotti tipo IVa.3, finito o infinito. [6] Todos los demás aviones Hall son de Lenz-Barlotti tipo IVa.1.
- Todos los planos de Hall finitos del mismo orden son isomorfos.
- Los planos de pasillo no son auto-duales .
- Todos los planos de Hall finitos contienen subplanos de orden 2 ( subplanos de Fano ).
- Todos los planos de Hall finitos contienen subplanos de orden diferente de 2.
- Los planos de pasillo son planos de André .
El plano Hall más pequeño (orden 9)
El plano Hall de orden 9 fue encontrado antes por Oswald Veblen y Joseph Wedderburn en 1907. [7] Hay cuatro cuasifcampos de orden nueve que pueden usarse para construir el plano Hall de orden nueve. Tres de ellos son sistemas Hall generados por polinomios irreducibles., o . [8] El primero de ellos produce un cuasifcampo asociativo, [9] es decir, un campo cercano , y fue en este contexto que el avión fue descubierto por Veblen y Wedderburn. Este plano a menudo se denomina plano de campo cercano de orden nueve.
Notas
- ↑ Hall Jr. (1943)
- ↑ Aunque las construcciones proporcionarán un plano proyectivo de orden 4, el único plano de este tipo es desarguesiano y generalmente no se considera un plano de Hall.
- ^ Hughes y Piper (1973 , pág.183)
- ^ Hughes y Piper (1973 , págs. 202-218, capítulo X. Derivación)
- ↑ Hughes y Piper (1973 , pág.203, Teorema 10.2)
- ^ Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275, página 126.
- ^ Veblen y Wedderburn (1907)
- ^ Stevenson (1972 , págs. 333–334)
- ^ Hughes y Piper (1973 , pág. 186)
Referencias
- Dembowski, P. (1968), Geometrías finitas , Berlín: Springer-Verlag
- Hall Jr., Marshall (1943), "Projective Planes" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 54 : 229-277, doi : 10.2307 / 1990331 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990331 , MR 0008892
- D. Hughes y F. Piper (1973). Planos proyectivos . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90044-6.
- Stevenson, Frederick W. (1972), Planos proyectivos , San Francisco: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9
- Veblen, Oscar ; Wedderburn, Joseph HM (1907), "Geometrías no desarguesianas y no pascalianas" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 8 : 379–388, doi : 10.2307 / 1988781
- Weibel, Charles (2007), "Encuesta de planos no desarguesianos" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 54 (10): 1294-1303