En el tema matemático de la teoría de grupos , la conjetura de Hanna Neumann es un enunciado sobre el rango de la intersección de dos subgrupos generados finitamente de un grupo libre . La conjetura fue planteada por Hanna Neumann en 1957. [1] En 2011, Joel Friedman [2] e Igor Mineyev probaron de forma independiente una versión reforzada de la conjetura (ver más abajo ) . [3]
En 2017, Andrei Jaikin-Zapirain publicó una tercera prueba de la conjetura fortalecida de Hanna Neumann, basada en argumentos homológicos inspirados en consideraciones a favor del grupo p . [4]
Historia
El tema de la conjetura fue motivado originalmente por un teorema de Howson [5] de 1954 , quien demostró que la intersección de dos subgrupos generados finitamente de un grupo libre siempre se genera de forma finita, es decir, tiene un rango finito . En este artículo, Howson demostró que si H y K son subgrupos de un grupo libre F ( X ) de rangos finitos n ≥ 1 ym ≥ 1 entonces el rango s de H ∩ K satisface:
- s - 1 ≤ 2 mn - m - n .
En un artículo de 1956 [6], Hanna Neumann mejoró este encuadernado mostrando que:
- s - 1 ≤ 2 mn - 2m - n .
En un apéndice de 1957, [1] Hanna Neumann mejoró aún más este límite para mostrar que bajo los supuestos anteriores
- s - 1 ≤ 2 ( m - 1) ( n - 1).
También conjeturó que el factor 2 en la desigualdad anterior no es necesario y que uno siempre tiene
- s - 1 ≤ ( m - 1) ( n - 1).
Esta declaración se conoció como la conjetura de Hanna Neumann .
Declaración formal
Deje H , K ≤ F ( X ) dos no triviales subgrupos finitamente generados de un grupo libre F ( X ) y dejar que L = H ∩ K ser la intersección de H y K . La conjetura dice que en este caso
- rango ( L ) - 1 ≤ (rango ( H ) - 1) (rango ( K ) - 1).
Aquí para un grupo G el rango cantidad ( G ) es el rango de G , es decir, el tamaño más pequeño de un grupo electrógeno para G . Se sabe que cada subgrupo de un grupo libre es libre en sí mismo y el rango de un grupo libre es igual al tamaño de cualquier base libre de ese grupo libre.
Conjetura reforzada de Hanna Neumann
Si H , K ≤ G son dos subgrupos de un grupo G y si a , b ∈ G definen la misma clase doble HaK = HbK, entonces los subgrupos H ∩ aKa −1 y H ∩ bKb −1 se conjugan en G y por lo tanto tienen la mismo rango . Se sabe que si H , K ≤ F ( X ) son subgrupos generados finitamente de un grupo libre F ( X ) generado finitamente, entonces existen como máximo un número finito de clases de doble clase lateral HaK en F ( X ) tales que H ∩ aKa −1 ≠ {1}. Supongamos que existe al menos un doble tal clase lateral y deja un 1 , ..., un n ser todos los representantes distintivos de dichas clases laterales dobles. La conjetura reforzada de Hanna Neumann , formulada por su hijo Walter Neumann (1990), [7] establece que en esta situación
La conjetura reforzada de Hanna Neumann fue probada en 2011 por Joel Friedman. [2] Poco después, Igor Mineyev dio otra prueba. [3]
Resultados parciales y otras generalizaciones
- En 1971, Burns mejoró [8] la encuadernación de 1957 de Hanna Neumann y demostró que bajo los mismos supuestos que en el artículo de Hanna Neumann se ha
- s ≤ 2 mn - 3 m - 2 n + 4.
- En un artículo de 1990, [7] Walter Neumann formuló la conjetura reforzada de Hanna Neumann (ver declaración anterior).
- Tardos (1992) [9] estableció la Conjetura de Hanna Neumann reforzada para el caso en el que al menos uno de los subgrupos H y K de F ( X ) tiene rango dos. Como la mayoría de los otros enfoques de la conjetura de Hanna Neumann, Tardos utilizó la técnica de gráficos de subgrupos de Stallings [10] para analizar subgrupos de grupos libres y sus intersecciones.
- Warren Dicks (1994) [11] estableció la equivalencia de la conjetura reforzada de Hanna Neumann y un enunciado teórico de grafos que llamó conjetura de grafos amalgamados .
- Arzhantseva (2000) demostró [12] que si H es un subgrupo generado finitamente de índice infinito en F ( X ), entonces, en un cierto significado estadístico, para un subgrupo genérico generado finitamente en , Tenemos H ∩ GKG -1 = {1} para todo g en F . Por tanto, la conjetura reforzada de Hanna Neumann es válida para cada H y una K genérica .
- En 2001, Dicks y Formanek establecieron la conjetura reforzada de Hanna Neumann para el caso en el que al menos uno de los subgrupos H y K de F ( X ) tiene un rango como máximo de tres. [13]
- Khan (2002) [14] e, independientemente, Meakin y Weil (2002), [15] mostraron que la conclusión de la conjetura fortalecida de Hanna Neumann se cumple si uno de los subgrupos H , K de F ( X ) se genera positivamente , que es decir, generado por un conjunto finito de palabras que involucran solo elementos de X pero no de X −1 como letras.
- Ivanov [16] [17] y Dicks e Ivanov [18] obtuvieron análogos y generalizaciones de los resultados de Hanna Neumann para la intersección de los subgrupos H y K de un producto libre de varios grupos.
- Wise (2005) afirmó [19] que la conjetura reforzada de Hanna Neumann implica otra conjetura teórica de grupo de larga data que dice que cada grupo de un solo relator con torsión es coherente (es decir, cada subgrupo generado finitamente en dicho grupo se presenta de forma finita ).
Ver también
- Teoría de grupos geométricos
Referencias
- ^ a b Hanna Neumann. En la intersección de grupos libres generados finitamente. Apéndice. Publicationes Mathematicae Debrecen , vol. 5 (1957), pág. 128
- ^ a b Joel Friedman, "Gavillas en gráficos, sus invariantes homológicas y una prueba de la conjetura de Hanna Neumann" American Mathematical Soc., 2014
- ^ a b Igor Minevev, "Submultiplicatividad y la conjetura de Hanna Neumann". Ana. of Math., 175 (2012), no. 1, 393-414.
- ^ Andrei Jaikin-Zapirain, Aproximación por subgrupos de índice finito y la conjetura de Hanna Neumann , Duke Mathematical Journal , 166 (2017), no. 10, págs.1955-1987
- ^ AG Howson. En la intersección de grupos libres generados finitamente. Revista de la Sociedad Matemática de Londres , vol. 29 (1954), págs. 428–434
- ^ Hanna Neumann. En la intersección de grupos libres generados finitamente. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 4 (1956), 186–189.
- ^ a b Walter Neumann. En intersecciones de subgrupos de grupos libres generados finitamente. Groups – Canberra 1989, págs. 161-170. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1456, Springer, Berlín, 1990; ISBN 3-540-53475-X
- ^ Robert G. Burns. En la intersección de subgrupos generados finitamente de un grupo libre. Mathematische Zeitschrift , vol. 119 (1971), págs. 121-130.
- ^ Gábor Tardos. En la intersección de subgrupos de un grupo libre. Inventiones Mathematicae , vol. 108 (1992), núm. 1, págs. 29–36.
- ^ John R. Stallings. Topología de grafos finitos. Inventiones Mathematicae , vol. 71 (1983), núm. 3, págs. 551–565
- ^ Warren Dicks. Equivalencia de la conjetura reforzada de Hanna Neumann y la conjetura del gráfico amalgamado. Inventiones Mathematicae , vol. 117 (1994), núm. 3, págs. 373–389
- ^ GN Arzhantseva. Una propiedad de subgrupos de índice infinito en un grupo libre Proc. Amer. Matemáticas. Soc. 128 (2000), 3205–3210.
- ^ Warren Dicks y Edward Formanek . El caso de rango tres de la conjetura de Hanna Neumann. Revista de teoría de grupos, vol. 4 (2001), núm. 2, págs. 113-151
- ^ Bilal Khan. Subgrupos de grupos libres generados positivamente y la conjetura de Hanna Neumann. Teoría de grupos combinatoria y geométrica (Nueva York, 2000 / Hoboken, Nueva Jersey, 2001), 155-170, Matemáticas contemporáneas, vol. 296, Sociedad Matemática Estadounidense , Providence, RI, 2002; ISBN 0-8218-2822-3
- ^ J. Meakin y P. Weil. Subgrupos de grupos libres: una contribución a la conjetura de Hanna Neumann. Actas de la Conferencia sobre teoría de grupos combinatoria y geométrica, Parte I (Haifa, 2000). Geometriae Dedicata , vol. 94 (2002), págs. 33–43.
- ^ SV Ivanov. Intersección de subgrupos libres en productos gratuitos de grupos. Revista Internacional de Álgebra y Computación, vol. 11 (2001), núm. 3, págs. 281–290
- ^ SV Ivanov. En el rango de Kurosh de la intersección de subgrupos en productos libres de grupos . Advances in Mathematics , vol. 218 (2008), núm. 2, págs. 465–484
- ^ Warren Dicks y SV Ivanov. Sobre la intersección de subgrupos libres en productos gratuitos de grupos. Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge, vol. 144 (2008), núm. 3, págs. 511–534
- ^ La coherencia de los grupos de un solo relator con la torsión y la conjetura de Hanna Neumann. Boletín de la London Mathematical Society , vol. 37 (2005), núm. 5, págs. 697–705