- Para el rango libre de torsión, consulte Rango de un grupo abeliano ; para la dimensión del subgrupo de Cartan, consulte Rango de un grupo de Lie .
En el tema matemático de la teoría de grupos , el rango de un grupo G , denotado rango ( G ), puede referirse a la cardinalidad más pequeña de un grupo electrógeno para G , es decir
Si G es un grupo generado de forma finita , entonces el rango de G es un número entero no negativo. La noción de rango de un grupo es un análogo de la teoría de grupos a la noción de dimensión de un espacio vectorial . De hecho, para los grupos p , el rango del grupo P es la dimensión del espacio vectorial P / Φ ( P ), donde Φ ( P ) es el subgrupo de Frattini .
El rango de un grupo también se define a menudo de tal manera que se asegure de que los subgrupos tengan un rango menor o igual al del grupo completo, que es automáticamente el caso de las dimensiones de los espacios vectoriales, pero no de los grupos afines . Para distinguir estas diferentes definiciones, a veces se llama a este rango el rango de subgrupo . Explícitamente, el rango de subgrupo de un grupo G es el máximo de los rangos de sus subgrupos:
A veces, el rango de subgrupos se limita a subgrupos abelianos.
Hechos y ejemplos conocidos
- Para un grupo G no trivial , tenemos rango ( G ) = 1 si y solo si G es un grupo cíclico . El grupo trivial T tiene rango ( T ) = 0, ya que el conjunto generador mínimo de T es el conjunto vacío .
- Por un grupo abeliano libre tenemos
- Si X es un conjunto y G = F ( X ) es el grupo libre con base libre X, entonces rango ( G ) = | X |.
- Si un grupo H es una imagen homomórfica (o un grupo cociente ) de un grupo G, entonces rango ( H ) ≤ rango ( G ).
- Si G es un grupo simple finito no abeliano (por ejemplo, G = A n , el grupo alterno , para n > 4) entonces rango ( G ) = 2. Este hecho es una consecuencia de la Clasificación de grupos simples finitos .
- Si G es un grupo generado finitamente y Φ ( G ) ≤ G es el subgrupo Frattini de G (que siempre es normal en G, de modo que el grupo cociente G / Φ ( G ) está definido) entonces rango ( G ) = rango ( G / Φ ( G )). [1]
- Si G es el grupo fundamental de un cerrado (que es compacto y sin límite) conectado 3-colector M entonces rango ( G ) ≤ g ( M ), donde g ( M ) es el género Heegaard de M . [2]
- Si H , K ≤ F ( X ) son subgrupos generados finitamente de un grupo libre F ( X ) tal que la intersecciónno es trivial, entonces L se genera finitamente y
- rango ( L ) - 1 ≤ 2 (rango ( K ) - 1) (rango ( H ) - 1).
- Este resultado se debe a Hanna Neumann . [3] [4] La conjetura de Hanna Neumann establece que, de hecho, uno siempre tiene rango ( L ) - 1 ≤ (rango ( K ) - 1) (rango ( H ) - 1). La conjetura de Hanna Neumann ha sido resuelta recientemente por Igor Mineyev [5] y anunciada de forma independiente por Joel Friedman. [6]
- De acuerdo con el teorema clásico de Grushko , el rango se comporta de forma aditiva con respecto a tomar productos gratuitos , es decir, para cualquier grupo A y B tenemos
- rango ( AB ) = rango ( A ) + rango ( B ).
- Si es un grupo de un relator tal que r no es un elemento primitivo en el grupo libre F ( x 1 , ..., x n ), es decir, r no pertenece a una base libre de F ( x 1 , .. ., x n ), luego rango ( G ) = n . [7] [8]
El problema de rango
Hay un problema algorítmico estudiado en la teoría de grupos , conocido como problema de rango . El problema pregunta, para una clase particular de grupos presentados de forma finita, si existe un algoritmo que, dada una presentación finita de un grupo de la clase, calcule el rango de ese grupo. El problema de rango es uno de los problemas algorítmicos más difíciles que se estudian en la teoría de grupos y se sabe relativamente poco al respecto. Los resultados conocidos incluyen:
- El problema de rango es algorítmicamente indecidible para la clase de todos los grupos presentados de forma finita . De hecho, según un resultado clásico de Adian-Rabin , no existe un algoritmo para decidir si un grupo presentado de forma finita es trivial, por lo que incluso la cuestión de si el rango ( G ) = 0 es indecidible para grupos presentados de forma finita. [9] [10]
- El problema de rango es decidible para grupos finitos y para grupos abelianos generados finitamente .
- El problema de rango es decidible para grupos nilpotentes generados finitamente . La razón es que para tal grupo de una G , el subgrupo Frattini de G contiene el grupo de los conmutadores de G y por lo tanto el rango de G es igual al rango de la abelianization de G . [11]
- El problema de rango es indecidible para grupos hiperbólicos de palabras . [12]
- El problema del rango es decidible para los grupos kleinianos sin torsión . [13]
- El problema de rango está abierto para grupos virtualmente abelianos generados finitamente (es decir, que contienen un subgrupo abeliano de índice finito ), para grupos virtualmente libres y para grupos de 3 múltiples .
El rango de un grupo G generado de forma finita se puede definir de manera equivalente como la cardinalidad más pequeña de un conjunto X tal que exista un homomorfismo sobre F ( X ) → G , donde F ( X ) es el grupo libre con base X libre . Existe una noción dual de co-rango de un grupo G generado finitamente definido como la cardinalidad más grande de X tal que existe un homomorfismo en G → F ( X ). A diferencia del rango, el co-rango siempre es computable algorítmicamente para grupos presentados finitamente , [14] usando el algoritmo de Makanin y Razborov para resolver sistemas de ecuaciones en grupos libres. [15] [16] La noción de co-rango está relacionada con la noción de un número de corte para 3 variedades . [17]
Si p es un número primo , entonces el P - rango de G es el mayor rango de un abeliano elemental p -subgroup. [18] La sección p - rango es el mayor rango de un abelian elemental p -section (cociente de un subgrupo).
Ver también
- Rango de un grupo abeliano
- Rango Prüfer
- Teorema de Grushko
- Grupo libre
- Equivalencia de Nielsen
Notas
- ^ DJS Robinson. Curso de Teoría de Grupos , 2ª ed., Textos de Posgrado en Matemáticas 80 (Springer-Verlag, 1996). ISBN 0-387-94461-3
- ^ Friedhelm Waldhausen. Algunos problemas en 3 colectores. Topología algebraica y geométrica (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Parte 2, págs. 313–322, Proc. Simpos. Matemáticas puras., XXXII, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 1978; ISBN 0-8218-1433-8
- ^ Hanna Neumann. En la intersección de grupos libres generados finitamente. Publicationes Mathematicae Debrecen , vol. 4 (1956), 186–189.
- ^ Hanna Neumann. En la intersección de grupos libres generados finitamente. Apéndice. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 5 (1957), pág. 128
- ^ Igor Minevev, "Submultiplicatividad y la conjetura de Hanna Neumann". Ana. of Math., 175 (2012), no. 1, 393–414.
- ^ "Gavillas en gráficos y una prueba de la conjetura de Hanna Neumann" . Math.ubc.ca . Consultado el 12 de junio de 2012 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- ↑ Wilhelm Magnus , Uber freie Faktorgruppen und freie Untergruppen Gegebener Gruppen , Monatshefte für Mathematik, vol. 47 (1939), págs. 307–313.
- ^ Roger C. Lyndon y Paul E. Schupp . Teoría de grupos combinatoria. Springer-Verlag, Nueva York, 2001. Serie "Classics in Mathematics", reimpresión de la edición de 1977. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Proposición 5.11, pág. 107
- ^ WW Boone. Problemas de decisión sobre sistemas algebraicos y lógicos en su conjunto y grados de insolubilidad recursivamente enumerables. 1968 Contribuciones a las matemáticas. Logic (Coloquio, Hannover, 1966) págs.13 33 Holanda Septentrional, Amsterdam
- ^ Charles F. Miller, III. Problemas de decisión para grupos: encuesta y reflexiones. Algoritmos y clasificación en la teoría combinatoria de grupos (Berkeley, CA, 1989), págs. 1-59, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 23, Springer, Nueva York, 1992; ISBN 0-387-97685-X
- ^ John Lennox y Derek JS Robinson. La teoría de infinitos grupos solubles. Monografías matemáticas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press , Oxford, 2004. ISBN 0-19-850728-3
- ^ G. Baumslag, CF Miller y H. Short. Problemas insolubles sobre cancelación pequeña y grupos hiperbólicos de palabras. Boletín de la London Mathematical Society, vol. 26 (1994), págs. 97-101
- ^ Ilya Kapovich y Richard Weidmann. Los grupos kleinianos y el problema de los rangos . Geometría y topología , vol. 9 (2005), págs. 375–402
- ^ John R. Stallings. Problemas sobre cocientes libres de grupos. Teoría de grupos geométricos (Columbus, OH, 1992), págs. 165-182, Universidad Estatal de Ohio. Matemáticas. Res. Inst. Publ., 3, de Gruyter, Berlín, 1995. ISBN 3-11-014743-2
- ^ AA Razborov. Sistemas de ecuaciones en grupo libre. (en ruso) Izvestia Akademii Nauk SSSR, Seriya Matematischeskaya, vol. 48 (1984), núm. 4, págs. 779–832.
- ^ Ecuaciones de GSMakanin en un grupo libre. (Ruso), Izvestia Akademii Nauk SSSR, Seriya Matematischeskaya, vol. 46 (1982), núm. 6, págs. 1199–1273
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- ^ Aschbacher, M. (2002), Teoría de grupos finitos , Cambridge University Press, p. 5, ISBN 978-0-521-78675-1