grupo prop

En matemáticas , un grupo pro- p (para algún número primo p ) es un grupo profinito tal que para cualquier subgrupo normal abierto el grupo cociente es un grupo p . Tenga en cuenta que, como los grupos profinitos son compactos , los subgrupos abiertos son exactamente los subgrupos cerrados de índice finito , por lo que el grupo de cociente discreto siempre es finito. ${\ estilo de visualización G}$ $N\triangleleft G$ ${\ estilo de visualización G/N}$

Alternativamente, se puede definir un grupo pro- p como el límite inverso de un sistema inverso de p -grupos finitos discretos .

La clase mejor entendida (e históricamente más importante) de grupos pro- p son los grupos analíticos p -ádicos : grupos con la estructura de una variedad analítica tal que la multiplicación e inversión de grupos son funciones analíticas. El trabajo de Lubotzky y Mann, combinado con la solución de Michel Lazard al quinto problema de Hilbert sobre los números p -ádicos, muestra que un grupo pro- p es analítico p -ádico si y sólo si tiene un rango finito , es decir, existe un entero positivo ${\ estilo de visualización \ mathbb {Q} _ {p}}$ ${\ estilo de visualización r}$ tal que cualquier subgrupo cerrado tiene un conjunto generador topológico con no más que elementos. De manera más general, se demostró que un grupo profinito generado finitamente es un grupo de Lie p-ádico compacto si y solo si tiene un subgrupo abierto que es un grupo pro-p uniformemente poderoso. ${\ estilo de visualización r}$

Los Teoremas de Coclase fueron probados en 1994 por A. Shalev e independientemente por CR Leedham-Green. El teorema D es uno de estos teoremas y afirma que, para cualquier número primo p y cualquier número entero positivo r , existen solo un número finito de grupos pro- p de la coclase r . Este resultado de finitud es fundamental para la clasificación de p -grupos finitos mediante grafos de coclases dirigidas .