La condición de coordenadas armónicas es una de varias condiciones de coordenadas en la relatividad general , que hacen posible resolver las ecuaciones de campo de Einstein . Se dice que un sistema de coordenadas satisface la condición de coordenadas armónicas si cada una de las funciones de coordenadas x α (consideradas como campos escalares) satisface la ecuación de d'Alembert . La noción paralela de un sistema de coordenadas armónico en la geometría de Riemann es un sistema de coordenadas cuyas funciones de coordenadas satisfacen la ecuación de Laplace . Dado que la ecuación de d'Alembert es la generalización de la ecuación de Laplace al espacio-tiempo, sus soluciones también se denominan "armónicas".
Las leyes de la física pueden expresarse de forma generalmente invariante. En otras palabras, al mundo real no le importan nuestros sistemas de coordenadas. Sin embargo, para que podamos resolver las ecuaciones, debemos fijarnos en un sistema de coordenadas en particular. Una condición de coordenadas selecciona uno (o un conjunto más pequeño de) tales sistemas de coordenadas. Las coordenadas cartesianas utilizadas en la relatividad especial satisfacen la ecuación de d'Alembert, por lo que un sistema de coordenadas armónicas es la aproximación más cercana disponible en la relatividad general a un marco de referencia inercial en la relatividad especial.
En relatividad general, tenemos que usar la derivada covariante en lugar de la derivada parcial en la ecuación de d'Alembert, por lo que obtenemos:
Dado que la coordenada x α no es en realidad un escalar, esta no es una ecuación tensorial. Es decir, generalmente no es invariante. Pero las condiciones de coordenadas no deben ser generalmente invariantes porque se supone que seleccionan (solo funcionan para) ciertos sistemas de coordenadas y no otros. Dado que la derivada parcial de una coordenada es el delta de Kronecker , obtenemos:
Y así, dejando caer el signo menos, obtenemos la condición de coordenadas armónicas (también conocida como la galga de Donder por Théophile de Donder [1] ):
Esta condición es especialmente útil cuando se trabaja con ondas gravitacionales.
Considere la derivada covariante de la densidad del recíproco del tensor métrico:
El ultimo trimestre emerge porque no es un escalar invariante, por lo que su derivada covariante no es la misma que su derivada ordinaria. Bastante, porque , tiempo
Contratando ν con ρ y aplicando la condición de coordenadas armónicas al segundo término, obtenemos:
Así, obtenemos que una forma alternativa de expresar la condición de coordenadas armónicas es:
Si se expresa el símbolo de Christoffel en términos del tensor métrico, se obtiene
Descartando el factor de y reorganizando algunos índices y términos, se obtiene
En el contexto de la gravedad linealizada , esto es indistinguible de estas formas adicionales:
Sin embargo, los dos últimos son una condición de coordenadas diferente cuando se pasa al segundo orden en h .
Por ejemplo, considere la ecuación de onda aplicada al potencial del vector electromagnético:
Evaluemos el lado derecho:
Usando la condición de coordenadas armónicas podemos eliminar el término más a la derecha y luego continuar la evaluación de la siguiente manera: