En la relatividad general , las leyes de la física se pueden expresar en una forma generalmente covariante . En otras palabras, la descripción del mundo dada por las leyes de la física no depende de nuestra elección de sistemas de coordenadas. Sin embargo, a menudo es útil fijar un sistema de coordenadas en particular para resolver problemas reales o hacer predicciones reales. Una condición de coordenadas selecciona tales sistemas de coordenadas.
Indeterminación en la relatividad general
Las ecuaciones de campo de Einstein no determinan la métrica de forma única, incluso si se sabe a qué equivale el tensor métrico en todas partes en un momento inicial. Esta situación es análoga al fracaso de las ecuaciones de Maxwell para determinar los potenciales de forma única. En ambos casos, la ambigüedad se puede eliminar mediante la fijación del calibre . Por tanto, las condiciones de coordenadas son un tipo de condición de calibre. [1] Ninguna condición de coordenadas es generalmente covariante, pero muchas condiciones de coordenadas son covariantes de Lorentz o covariantes de rotación .
Ingenuamente, uno podría pensar que las condiciones de coordenadas tomarían la forma de ecuaciones para la evolución de las cuatro coordenadas y, de hecho, en algunos casos (por ejemplo, la condición de coordenadas armónicas) se pueden poner en esa forma. Sin embargo, es más habitual que aparezcan como cuatro ecuaciones adicionales (más allá de las ecuaciones de campo de Einstein) para la evolución del tensor métrico. Las ecuaciones de campo de Einstein por sí solas no determinan completamente la evolución de la métrica en relación con el sistema de coordenadas. Podría parecer que sí, ya que hay diez ecuaciones para determinar los diez componentes de la métrica. Sin embargo, debido a la segunda identidad de Bianchi del tensor de curvatura de Riemann , la divergencia del tensor de Einstein es cero, lo que significa que cuatro de las diez ecuaciones son redundantes, dejando cuatro grados de libertad que pueden asociarse con la elección de las cuatro coordenadas. El mismo resultado se puede derivar de una expansión de Kramers-Moyal-van-Kampen de la ecuación maestra (usando los coeficientes de Clebsch-Gordan para descomponer los productos tensoriales) [ cita requerida ] .
Coordenadas armónicas
Una condición de coordenadas particularmente útil es la condición armónica (también conocida como "calibre de Donder"):
Aquí, gamma es un símbolo de Christoffel (también conocido como la "conexión afín"), y la "g" con superíndices es la inversa del tensor métrico . Esta condición armónica la utilizan con frecuencia los físicos cuando trabajan con ondas gravitacionales . Esta condición también se usa con frecuencia para derivar la aproximación post-Newtoniana .
Aunque la condición de coordenadas armónicas no es generalmente covariante, es covariante de Lorentz. Esta condición de coordenadas resuelve la ambigüedad del tensor métrico proporcionando cuatro ecuaciones diferenciales adicionales que el tensor métrico debe satisfacer.
Coordenadas sincrónicas
Otra condición de coordenadas particularmente útil es la condición síncrona:
y
- .
Las coordenadas síncronas también se conocen como coordenadas gaussianas. [2] Se utilizan con frecuencia en cosmología . [3]
La condición de coordenadas sincrónicas no es generalmente covariante ni covariante de Lorentz. Esta condición de coordenadas resuelve la ambigüedad del tensor métrico proporcionando cuatro ecuaciones algebraicas que el tensor métrico debe satisfacer.
Otras coordenadas
Los físicos han empleado muchas otras condiciones coordinadas, aunque ninguna tan generalizada como las descritas anteriormente. Casi todas las condiciones de coordenadas utilizadas por los físicos, incluidas las condiciones de coordenadas armónicas y sincrónicas, serían satisfechas por un tensor métrico que iguale al tensor de Minkowski en todas partes. (Sin embargo, dado que el tensor de Riemann y, por lo tanto, el tensor de Ricci para las coordenadas de Minkowski es idénticamente cero, las ecuaciones de Einstein dan cero energía / materia para las coordenadas de Minkowski; por lo que las coordenadas de Minkowski no pueden ser una respuesta final aceptable). las condiciones de coordenadas comúnmente utilizadas pueden ser subdeterminadas o sobredeterminadas.
Un ejemplo de una condición infradeterminativa es el enunciado algebraico de que el determinante del tensor métrico es -1, lo que aún deja una considerable libertad de calibre. [4] Esta condición debería complementarse con otras condiciones para eliminar la ambigüedad en el tensor métrico.
Un ejemplo de una condición sobredeterminativa es el enunciado algebraico de que la diferencia entre el tensor métrico y el tensor de Minkowski es simplemente un cuatro vector nulo multiplicado por sí mismo, lo que se conoce como una forma de métrica de Kerr-Schild . [5] Esta condición de Kerr-Schild va mucho más allá de eliminar la ambigüedad de coordenadas y, por lo tanto, también prescribe un tipo de estructura física del espacio-tiempo. El determinante del tensor métrico en una métrica de Kerr-Schild es negativo, que en sí mismo es una condición de coordenadas infradeterminativa. [4] [6]
Al elegir las condiciones de las coordenadas, es importante tener cuidado con las ilusiones o artefactos que pueden crearse con esa elección. Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild puede incluir una singularidad aparente en una superficie que está separada de la fuente puntual, pero esa singularidad es simplemente un artefacto de la elección de las condiciones de coordenadas, en lugar de surgir de la realidad física real. [7]
Si uno va a resolver las ecuaciones de campo de Einstein usando métodos aproximados como la expansión post-Newtoniana , entonces debe intentar elegir una condición de coordenadas que haga que la expansión converja lo más rápido posible (o al menos evitará que diverja). De manera similar, para los métodos numéricos, es necesario evitar las cáusticas (singularidades de coordenadas).
Condiciones de coordenadas covariantes de Lorentz
Si se combina una condición de coordenadas que es covariante de Lorentz, como la condición de coordenadas armónicas mencionada anteriormente, con las ecuaciones de campo de Einstein , entonces se obtiene una teoría que en cierto sentido es consistente con la relatividad general y especial. Entre los ejemplos más simples de tales condiciones de coordenadas se encuentran estos:
donde se puede fijar la constante k para que sea cualquier valor conveniente.
Notas al pie
- ^ Salam, Abdus y col. Artículos seleccionados de Abdus Salam , página 391 (World Scientific 1994).
- ^ Stephani, Hans y Stewart, John. Relatividad general , página 20 (Cambridge University Press 1990).
- ^ C.-P. Ma y E. Bertschinger (1995). "Teoría de la perturbación cosmológica en los calibres newtonianos sincrónicos y conformes". Astrophys. J . 455 : 7–25. arXiv : astro-ph / 9506072 . Código Bibliográfico : 1995ApJ ... 455 .... 7M . doi : 10.1086 / 176550 .
- ^ a b Pandey, SN "Sobre un espacio-tiempo de Peres generalizado", Revista india de matemáticas puras y aplicadas (1975) que cita a Moller, C. La teoría de la relatividad (Clarendon Press 1972).
- ^ Chandrasekhar, S. La teoría matemática de los agujeros negros , página 302 (Oxford University Press, 1998). Se han sugerido generalizaciones de las condiciones de Kerr-Schild; por ejemplo, véase Hildebrandt, Sergi. “Kerr-Schild y los movimientos métricos generalizados”, página 22 (Arxiv.org 2002).
- ^ Stephani, Hans y col. Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein , página 485 (Cambridge University Press 2003).
- ^ Fecha, Ghanashyam. “Lectures on Introduction to General Relativity” Archivado el 20 de julio de 2011 en la Wayback Machine , página 26 (Instituto de Ciencias Matemáticas 2005).