El teorema de Hasse sobre curvas elípticas , también conocido como límite de Hasse, proporciona una estimación del número de puntos en una curva elíptica sobre un campo finito , delimitando el valor tanto arriba como abajo.
Si N es el número de puntos en la curva elíptica E sobre un campo finito con q elementos, entonces el resultado de Helmut Hasse establece que
La razón es que N difiere de q + 1, el número de puntos de la línea proyectiva sobre el mismo campo, por un 'término de error' que es la suma de dos números complejos , cada uno de valor absoluto √ q .
Este resultado había sido conjeturado originalmente por Emil Artin en su tesis. [1] Fue probado por Hasse en 1933, con la prueba publicada en una serie de artículos en 1936. [2]
El teorema de Hasse es equivalente a la determinación del valor absoluto de las raíces de la función zeta local de E . De esta forma se puede ver que es el análogo de la hipótesis de Riemann para el campo de función asociado con la curva elíptica.
Hasse-Weil Bound
Una generalización del límite de Hasse a curvas algebraicas de género superior es el límite de Hasse-Weil. Esto proporciona un límite en el número de puntos de una curva sobre un campo finito. Si el número de puntos de la curva C del género g sobre el campo finitode orden q es, luego
Este resultado es nuevamente equivalente a la determinación del valor absoluto de las raíces de la función zeta local de C , y es el análogo de la hipótesis de Riemann para el campo de función asociado con la curva.
El límite de Hasse-Weil se reduce al límite de Hasse habitual cuando se aplica a curvas elípticas, que tienen el género g = 1 .
El límite de Hasse-Weil es una consecuencia de las conjeturas de Weil , originalmente propuestas por André Weil en 1949 y probadas por André Weil en el caso de las curvas. [3]
Ver también
Notas
- ↑ Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift , 19 (1): 207–246, doi : 10.1007 / BF01181075 , ISSN 0025-5874 , JFM 51.0144.05 , MR 1544652
- ^ Hasse, Helmut (1936), "Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I, II & III", Crelle's Journal , 1936 (175), doi : 10.1515 / crll.1936.175.193 , ISSN 0075-4102 , Zbl 0014.14903
- ^ Weil, André (1949), "Números de soluciones de ecuaciones en campos finitos" , Boletín de la American Mathematical Society , 55 (5): 497–508, doi : 10.1090 / S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN 0002 -9904 , MR 0029393
Referencias
- Hurt, Norman E. (2003), Many Rational Points. Teoría de la codificación y geometría algebraica , matemáticas y sus aplicaciones , 564 , Dordrecht: Kluwer / Springer-Verlag , ISBN 1-4020-1766-9, Señor 2042828
- Niederreiter, Harald ; Xing, Chaoping (2009), Geometría algebraica en la teoría de la codificación y criptografía , Princeton: Princeton University Press , ISBN 978-0-6911-0288-7, MR 2573098
- Capítulo V de Silverman, Joseph H. (1994), La aritmética de las curvas elípticas , Textos de posgrado en matemáticas , 106 , Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96203-0, MR 1329092
- Washington, Lawrence C. (2008), Curvas elípticas. Teoría y criptografía de números, 2da edición , Matemáticas discretas y sus aplicaciones , Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press , ISBN 978-1-4200-7146-7, MR 2404461