Altura (grupo abeliano)
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En matemáticas , la altura de un elemento g de un grupo abeliano A es un invariante que captura sus propiedades de divisibilidad: es el número natural más grande N tal que la ecuación Nx  =  g tiene una solución x ∈ A , o el símbolo ∞ si hay hay tal N . La p -altura considera solo las propiedades de divisibilidad por las potencias de un número primo fijo p . La noción de altura admite un refinamiento para que la p -altura se convierta en un número ordinal . La altura juega un papel importante en los teoremas de Prüfer y también en el teorema de Ulm , que describe la clasificación de ciertos grupos abelianos infinitos en términos de sus factores de Ulm o invariantes de Ulm .

Definición de altura

Deje que A sea un grupo abeliano y g un elemento de A . La p -altura de g en A , denotada h p ( g ), es el número natural más grande n tal que la ecuación p n x  =  g tiene una solución en x ∈ A , o el símbolo ∞ si existe una solución para todo n . Así h p ( g ) = n si y solo si g ∈ p n A y g  ∉  p n 1 A . Esto permite refinar la noción de altura.

Para cualquier α ordinal , existe un subgrupo p α A de A que es la imagen del mapa de multiplicación por tiempos α p iterados , definidos mediante inducción transfinita :

  • p 0 A = A ;
  • p α +1 A = p ( p α A );
  • p β A = ∩ α < β p α A si β es un ordinal límite .

Los subgrupos p α A forman una filtración decreciente del grupo A , y su intersección es el subgrupo de los p -elementos divisibles de A , a cuyos elementos se les asigna una altura ∞. La modificada p -altura h p * ( g ) = α si g ∈ p α A , pero g ∉ p α 1 A . La construcción de p α A es funtorial en A; en particular, subquotients de la filtración son invariantes isomorfismo de A .

Subgrupos de Ulm

Sea p un número primo fijo. El (primer) subgrupo de Ulm de un grupo abeliano A , denotado U ( A ) o A 1 , es p ω A = ∩ n p n A , donde ω es el ordinal infinito más pequeño . Consta de todos los elementos de A de altura infinita. La familia { U σ ( A )} de subgrupos de Ulm indexados por ordinales σ se define por inducción transfinita:

  • U 0 ( A ) = A ;
  • U σ +1 ( A ) = U ( U σ ( A ));
  • U τ ( A ) = ∩ σ < τ U σ ( A ) si τ es un ordinal límite .

De manera equivalente, U σ ( A ) = p ωσ A , donde ωσ es el producto de los ordinales ω y σ .

Subgrupos Ulm forman una filtración decreciente de A cuya cocientes U σ ( A ) = U σ ( A ) / U sigma 1 ( A ) son llamados los factores Ulm de A . Esta filtración se estabiliza y el más pequeño ordinal τ tal que U τ ( A ) = U τ 1 ( A ) es la longitud Ulm de A . El subgrupo más pequeño de Ulm U τ ( A ), también denotadoU ∞ ( A ) y p ∞ A, consta de todos los p elementos -divisible de A , y siendo grupo divisible , es un sumando directo de A .

Para cada factor de Ulm U σ ( A ), las p- alturas de sus elementos son finitas y no están limitadas para cada factor de Ulm excepto posiblemente el último, a saber, U τ −1 ( A ) cuando la longitud de Ulm τ es un ordinal sucesor .

Teorema de ulm

El segundo teorema de Prüfer proporciona una extensión directa del teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente a grupos p abelianos contables sin elementos de altura infinita: cada uno de estos grupos es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos cuyos órdenes son potencias de p . Además, la cardinalidad del conjunto de sumandos de orden p n está determinada unívocamente por el grupo y se realiza cada secuencia de cardinalidades contables como máximo. Helmut Ulm (1933) encontró una extensión de esta teoría de clasificación a los p -grupos contables generales : su clase de isomorfismo está determinada por las clases de isomorfismo de los factores de Ulm y elp -parte divisible.

Teorema de Ulm . Sean A y B abelianos contables p - grupos tales que para cada ordinal σ sus factores de Ulm son isomorfos , U σ ( A ) ≅ U σ ( B ) y las p - partes divisibles de A y B son isomorfas , U ∞ ( A ) ≅ U ∞ ( B ). Entonces A y B son isomorfos.

Hay un complemento a este teorema, enunciado por primera vez por Leo Zippin (1935) y probado en Kurosh (1960), que aborda la existencia de un grupo p abeliano con factores de Ulm dados.

Sea τ un ordinal y { A σ } una familia de p - grupos contables abelianos indexados por los ordinales σ < τ tales que las p - alturas de los elementos de cada A σ son finitas y, excepto posiblemente el último, son ilimitado. Entonces existe un p - grupo A abeliano reducido de longitud Ulm τ cuyos factores Ulm son isomorfos a estos p - grupos , U σ ( A ) ≅ A σ .

La demostración original de Ulm se basó en una extensión de la teoría de los divisores elementales a matrices infinitas .

Formulación alternativa

George Mackey e Irving Kaplansky generalizaron el teorema de Ulm a ciertos módulos sobre un anillo de valoración discreto completo . Introdujeron invariantes de grupos abelianos que conducen a un enunciado directo de la clasificación de grupos abelianos periódicos contables: dado un grupo abeliano A , un primo p y un α ordinal , el invariante α- ésimo de Ulm correspondiente es la dimensión del cociente

p α A [ p ] / p α +1 A [ p ],

donde B [ p ] denota la p- torsión de un grupo abeliano B , es decir, el subgrupo de elementos de orden p , visto como un espacio vectorial sobre el campo finito con p elementos.

Un grupo abeliano reducido periódico contable se determina únicamente hasta el isomorfismo por sus invariantes de Ulm para todos los números primos py los ordinales contables α .

Su prueba simplificada del teorema de Ulm sirvió como modelo para muchas más generalizaciones a otras clases de grupos y módulos abelianos.

Referencias

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