En álgebra , los divisores elementales de un módulo sobre un dominio ideal principal (PID) ocurren en una forma del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal .
Si es un PID y una finita generada -módulo, entonces M es isomorfo a una suma finita de la forma
- donde el son ideales primarios distintos de cero .
La lista de ideales primarios es única hasta el momento (pero un ideal dado puede estar presente más de una vez, por lo que la lista representa un conjunto múltiple de ideales primarios); los elementosson únicos sólo hasta la asociación y se denominan divisores elementales . Tenga en cuenta que en un PID, los ideales primarios distintos de cero son poderes de ideales primarios, por lo que los divisores elementales se pueden escribir como poderesde elementos irreductibles. El entero no negativose llama rango libre o número de Betti del módulo.
El módulo se determina hasta el isomorfismo especificando su rango libre r , y para la clase de elementos irreducibles asociados py cada entero positivo k el número de veces que p k ocurre entre los divisores elementales. Los divisores elementales se pueden obtener de la lista de factores invariantes del módulo descomponiendo cada uno de ellos en la medida de lo posible en factores primos relativamente primos (no unitarios) por pares, que serán potencias de elementos irreducibles. Esta descomposición se corresponde con la descomposición de máximo cada submódulo correspondiente a un factor invariante usando el teorema chino del resto de R . Por el contrario, conociendo el multiset M de los divisores elementales, los factores invariantes se pueden encontrar, comenzando por el final (que es un múltiplo de todos los demás), de la siguiente manera. Para cada elemento irreducible p tal que alguna potencia p k ocurra en M , tome la potencia más alta, eliminándola de M , y multiplique estas potencias juntas para todas (clases de p asociado) para dar el factor invariante final; siempre que M no esté vacío, repita para encontrar los factores invariantes antes.
Ver también
Referencias
- B. Hartley ; A Hawkes (1970). Anillos, módulos y álgebra lineal . Chapman y Hall. ISBN 0-412-09810-5. Capítulo 11, p.182.
- Cap. III.7, p.153 de Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001