En el área de álgebra moderna conocida como la teoría de grupos , el grupo llevó a cabo Él es un simple grupo esporádico de orden
- 2 10 · 3 3 · 5 2 · 7 3 · 17 = 4030387200
- ≈ 4 × 10 9 .
Historia
Es uno de los 26 grupos esporádicos y fue encontrado por Dieter Held ( 1969a , 1969b ) durante una investigación de grupos simples que contienen una involución cuyo centralizador es isomorfo al de una involución en el grupo Mathieu M 24 . Un segundo grupo de este tipo es el grupo lineal L 5 (2). El grupo Held es la tercera posibilidad, y su construcción fue completada por John McKay y Graham Higman .
El grupo de automorfismo externo tiene orden 2 y el multiplicador de Schur es trivial.
Representaciones
La representación compleja fiel más pequeña tiene dimensión 51; hay dos representaciones de este tipo que son duales entre sí.
Se centraliza un elemento de orden 7 en el grupo del monstruo . Como resultado, el primo 7 juega un papel especial en la teoría del grupo; por ejemplo, la representación más pequeña del grupo Held sobre cualquier campo es la representación de 50 dimensiones sobre el campo con 7 elementos, y actúa de forma natural en un álgebra de operador de vértice sobre el campo con 7 elementos.
La representación de permutación más pequeña es una acción de rango 5 en 2058 puntos con estabilizador de puntos Sp 4 (4): 2.
El grupo de automorfismo He: 2 del grupo Held Es un subgrupo del grupo Fischer Fi24 .
Moonshine monstruoso generalizado
Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que la monstruosa luz de la luna no se limita al monstruo, sino que se pueden encontrar fenómenos similares para otros grupos. Larissa Queen y otros descubrieron posteriormente que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para He , la serie relevante de McKay-Thompson esdonde se puede establecer el término constante a (0) = 10 ( OEIS : A007264 ),
y η ( τ ) es la función eta de Dedekind .
Presentación
Se puede definir en términos de generadores de un y b y relaciones
Subgrupos máximos
Butler (1981) encontró las 11 clases de conjugación de subgrupos máximos de He como sigue:
- S 4 (4): 2
- 2 2 .L 3 (4) .S 3
- 2 6 : 3 S 6
- 2 6 : 3 S 6
- 2 1 + 6 .L 3 (2)
- 7 2 : 2.L 2 (7)
- 3.S 7
- 7 1 + 2 : (3 × S 3 )
- S 4 × L 3 (2)
- 7: 3 × L 3 (2)
- 5 2 : 4A 4
Referencias
- Butler, Gregory (1981), "Los subgrupos máximos del grupo simple esporádico de Held", Journal of Algebra , 69 (1): 67–81, doi : 10.1016 / 0021-8693 (81) 90127-7 , ISSN 0021- 8693 , MR 0613857
- Held, D. (1969a), "Algunos grupos simples relacionados con M 24 ", en Brauer, Richard; Shah, Chih-Han (eds.), Teoría de los grupos finitos: un simposio , WA Benjamin
- Held, Dieter (1969b), "Los grupos simples relacionados con M 24 ", Journal of Algebra , 13 (2): 253-296, doi : 10.1016 / 0021-8693 (69) 90074-X , MR 0249500
- Ryba, AJE (1988), "Calculation of the 7-modular characters of the Held group", Journal of Algebra , 117 (1): 240-255, doi : 10.1016 / 0021-8693 (88) 90252-9 , MR 0955602