Alexander Grothendieck ( / ɡ r oʊ t ən d i k / ; alemán: [ɡroːtn̩diːk] ; Francés: [ɡʁɔtɛndik] ; 28 marzo 1928 a 13 noviembre 2014) fue un matemático que se convirtió en la figura principal en la creación de la moderna geometría algebraica . [7] [8] Su investigación amplió el alcance del campo y agregó elementos de álgebra conmutativa , álgebra homológica , teoría de gavillas y teoría de categorías a sus fundamentos, mientras que su llamadoLa perspectiva "relativa" condujo a avances revolucionarios en muchas áreas de la matemática pura . [7] [9] Es considerado por muchos como el mayor matemático del siglo XX. [10]
Alexander Grothendieck | |
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Nació | |
Fallecido | 13 de noviembre de 2014 (86 años) Saint-Lizier , Francia |
Nacionalidad | |
alma mater | |
Conocido por | Renovación de la geometría algebraica y la síntesis entre ella y la teoría de números y la topología Lista de cosas que llevan el nombre de Alexander Grothendieck |
Premios |
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Carrera científica | |
Campos | Matemáticas : análisis funcional , geometría algebraica , álgebra homológica |
Instituciones | |
Tesis | Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (1953) |
Consejeros de doctorado | |
Estudiantes de doctorado |
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Nacido en Alemania, Grothendieck se crió y vivió principalmente en Francia, y él y su familia fueron perseguidos por el régimen nazi . Sin embargo, durante gran parte de su vida laboral fue, de hecho, apátrida . [3] Como deletreaba constantemente su primer nombre "Alexander" en lugar de "Alexandre" [11] y su apellido, tomado de su madre, era el holandés bajo alemán "Grothendieck", a veces se creía erróneamente que era de origen holandés. origen. [12]
Grothendieck inició su carrera productiva y pública como matemático en 1949. En 1958, fue nombrado profesor de investigación en el Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) y permaneció allí hasta 1970, cuando, impulsado por convicciones personales y políticas, se marchó siguiendo una disputa por la financiación militar. Recibió su medalla Fields en 1966 para los avances en la geometría algebraica , álgebra homológica , y K-teoría . [13] Más tarde se convirtió en profesor en la Universidad de Montpellier [5] y, mientras seguía produciendo trabajos matemáticos relevantes, se retiró de la comunidad matemática y se dedicó a actividades políticas y religiosas (primero el budismo y luego una visión más cristiana). [14] En 1991, se mudó al pueblo francés de Lasserre en los Pirineos , donde vivió en reclusión, todavía trabajando incansablemente en matemáticas hasta su muerte en 2014. [15]
La vida
Familia e infancia
Grothendieck nació en Berlín de padres anarquistas . Su padre, Alexander "Sascha" Schapiro (también conocido como Alexander Tanaroff), tenía raíces judías jasídicas y había sido encarcelado en Rusia antes de mudarse a Alemania en 1922, mientras que su madre, Johanna "Hanka" Grothendieck, provenía de una familia protestante en Hamburgo. y trabajó como periodista. Ambos se habían separado de sus primeros antecedentes en la adolescencia. [16] En el momento de su nacimiento, la madre de Grothendieck estaba casada con el periodista Johannes Raddatz y su nombre de nacimiento se registró inicialmente como "Alexander Raddatz". El matrimonio se disolvió en 1929 y Schapiro / Tanaroff reconoció su paternidad, pero nunca se casó con Hanka. [dieciséis]
Grothendieck vivió con sus padres en Berlín hasta finales de 1933, cuando su padre se mudó a París para evadir el nazismo , seguido poco después por su madre. Dejaron Grothendieck al cuidado de Wilhelm Heydorn, un pastor y maestro luterano [17] [18] en Hamburgo . Durante este tiempo, sus padres participaron en la Guerra Civil española , según Winfried Scharlau , como auxiliares no combatientes, [19] aunque otros afirman que Sascha luchó en la milicia anarquista. [20]
Segunda Guerra Mundial
En mayo de 1939, Grothendieck fue subido a un tren en Hamburgo para Francia. Poco después, su padre fue internado en Le Vernet . [21] Él y su madre fueron luego internados en varios campos de 1940 a 1942 como "extranjeros peligrosos indeseables". [22] El primero fue el campo de Rieucros , donde su madre contrajo la tuberculosis que finalmente le causó la muerte y donde Alexander logró asistir a la escuela local, en Mende . Una vez, Alejandro logró escapar del campo, con la intención de asesinar a Hitler. [21] Más tarde, su madre Hanka fue trasladada al campo de internamiento de Gurs durante el resto de la Segunda Guerra Mundial . [21] A Alexander se le permitió vivir, separado de su madre, [23] en el pueblo de Le Chambon-sur-Lignon , protegido y escondido en pensiones o pensiones locales , aunque ocasionalmente tuvo que buscar refugio en el bosque durante los nazis. incursiones, sobreviviendo a veces sin comida ni agua durante varios días. [21] [23] Su padre fue arrestado bajo la legislación antijudía de Vichy , y enviado a Drancy , y luego entregado por el gobierno francés de Vichy a los alemanes para ser enviado a ser asesinado en el campo de concentración de Auschwitz en 1942. [8] [24] En Chambon, Grothendieck asistió al Collège Cévenol (ahora conocido como Le Collège-Lycée Cévenol International ), una escuela secundaria única fundada en 1938 por pacifistas protestantes locales y activistas contra la guerra. Muchos de los niños refugiados escondidos en Chambon asistieron a Cévenol, y fue en esta escuela donde Grothendieck aparentemente se fascinó por primera vez con las matemáticas. [25]
Estudios y contacto con la investigación matemática
Después de la guerra, el joven Grothendieck estudió matemáticas en Francia, inicialmente en la Universidad de Montpellier, donde inicialmente no se desempeñó bien, reprobando clases como astronomía. [26] Trabajando por su cuenta, redescubrió la medida de Lebesgue . Después de tres años de estudios cada vez más independientes allí, fue a continuar sus estudios en París en 1948. [27]
Inicialmente, Grothendieck asistió al seminario de Henri Cartan en la École Normale Supérieure , pero carecía de la formación necesaria para seguir el seminario de alto nivel. Siguiendo el consejo de Cartan y André Weil , se trasladó a la Universidad de Nancy, donde dos destacados expertos trabajaban en el área de interés de Grothendieck, los espacios vectoriales topológicos: Jean Dieudonné y Laurent Schwartz . Este último había ganado recientemente una medalla Fields. Le mostró a su nuevo alumno su último trabajo; terminó con una lista de 14 preguntas abiertas, relevantes para espacios localmente convexos. Grothendieck introdujo nuevos métodos que le permitieron resolver todos estos problemas en unos pocos meses. [28]
En Nancy, escribió su disertación con esos dos profesores sobre análisis funcional , de 1950 a 1953. [29] En este momento, era un destacado experto en la teoría de espacios vectoriales topológicos . [30] De 1953 a 1955 se trasladó a la Universidad de São Paulo en Brasil, donde emigró mediante pasaporte Nansen , dado que se negó a obtener la nacionalidad francesa. En 1957, dejó este tema a un lado para trabajar en geometría algebraica y álgebra homológica . [29] El mismo año fue invitado a visitar Harvard por Oscar Zariski , pero la oferta fracasó cuando se negó a firmar un compromiso prometiendo no trabajar para derrocar al gobierno de los Estados Unidos, un puesto que, según le advirtieron, podría haber aterrizado. él en prisión. La perspectiva no le preocupaba, siempre que pudiera tener acceso a libros. [31]
Comparando a Grothendieck durante sus años en Nancy con los estudiantes formados de la École Normale Supérieure en ese momento: Pierre Samuel , Roger Godement , René Thom , Jacques Dixmier , Jean Cerf , Yvonne Bruhat , Jean-Pierre Serre , Bernard Malgrange , Leila Schneps dice:
Era tan completamente desconocido para este grupo y para sus profesores, provenía de un entorno tan desfavorecido y caótico, y era, en comparación con ellos, tan ignorante al comienzo de su carrera investigadora, que su fulgurante ascenso al estrellato repentino es aún más increíble; bastante único en la historia de las matemáticas. [32]
Sus primeros trabajos sobre espacios vectoriales topológicos en 1953 se han aplicado con éxito a la física y la informática, culminando en una relación entre la desigualdad de Grothendieck y la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen en la física cuántica. [33]
IHÉS años
En 1958, Grothendieck se instaló en el Institut des hautes études scientifiques (IHÉS), un nuevo instituto de investigación financiado con fondos privados que, de hecho, había sido creado para Jean Dieudonné y Grothendieck. [1] Grothendieck atrajo la atención por una intensa y altamente productiva actividad de seminarios allí ( grupos de trabajo de facto que incorporan en el trabajo fundacional a algunos de los matemáticos franceses más capaces y otros de la generación más joven). [17] El propio Grothendieck prácticamente dejó de publicar artículos a través de la ruta convencional de revistas científicas . Sin embargo, pudo desempeñar un papel dominante en las matemáticas durante aproximadamente una década, reuniendo una escuela sólida. [34]
Durante este tiempo, tuvo oficialmente como estudiantes a Michel Demazure (que trabajó en SGA3, en esquemas grupales ), Luc Illusie (complejo cotangente), Michel Raynaud , Jean-Louis Verdier (cofundador de la teoría de categorías derivadas ) y Pierre Deligne . Los colaboradores de los proyectos SGA también incluyeron a Michael Artin ( étale cohomology ) y Nick Katz ( teoría de la monodromía y lápices Lefschetz ). Jean Giraud elaboró extensiones de la teoría torsor de la cohomología no beliana . También participaron muchos otros como David Mumford , Robin Hartshorne , Barry Mazur y CP Ramanujam .
"Edad de oro"
El trabajo de Alexander Grothendieck durante el período de la "Edad de Oro" en el IHÉS estableció varios temas unificadores en geometría algebraica , teoría de números , topología , teoría de categorías y análisis complejo . [29] Su primer descubrimiento (pre-IHÉS) en geometría algebraica fue el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch , una generalización del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch probado algebraicamente; En este contexto, también introdujo K-teoría . Luego, siguiendo el programa que esbozó en su charla en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1958 , introdujo la teoría de esquemas , desarrollándola en detalle en sus Éléments de géométrie algébrique ( EGA ) y proporcionando los nuevos fundamentos más flexibles y generales para la geometría algebraica. que se ha adoptado en el campo desde entonces. [17] Continuó introduciendo la teoría de esquemas de cohomología étale , proporcionando las herramientas clave para probar las conjeturas de Weil , así como la cohomología cristalina y la cohomología de Rham algebraica para complementarla. Estrechamente vinculado a estas teorías de cohomología, originó la teoría topos como una generalización de la topología (relevante también en la lógica categórica ). También proporcionó una definición algebraica de grupos fundamentales de esquemas y, de manera más general, las estructuras principales de una teoría categórica de Galois . Como marco para su teoría de la dualidad coherente , también introdujo categorías derivadas , que fueron desarrolladas por Verdier. [35]
Los resultados del trabajo sobre estos y otros temas se publicaron en la EGA y de forma menos pulida en las notas del Séminaire de géométrie algébrique ( SGA ) que dirigió en el IHÉS. [17]
Activismo politico
Las opiniones políticas de Grothendieck eran radicales y pacifistas , y se opuso firmemente tanto a la intervención de Estados Unidos en Vietnam como al expansionismo militar soviético . Dio conferencias sobre teoría de categorías en los bosques que rodean Hanoi mientras la ciudad estaba siendo bombardeada, para protestar contra la Guerra de Vietnam . [36] Se retiró de la vida científica alrededor de 1970, después de descubrir que IHÉS estaba financiado en parte por los militares. [37] Regresó a la academia unos años más tarde como profesor en la Universidad de Montpellier .
Si bien el tema de la financiación militar fue quizás la explicación más obvia de la salida de Grothendieck del IHÉS, quienes lo conocieron dicen que las causas de la ruptura fueron más profundas. Pierre Cartier , visitanteur de longue durée ("invitado de larga duración") en el IHÉS, escribió un artículo sobre Grothendieck para un volumen especial publicado con motivo del cuadragésimo aniversario del IHÉS . El Grothendieck Festschrift , publicado en 1990, fue una colección de trabajos de investigación en tres volúmenes para conmemorar su sexagésimo cumpleaños en 1988. [38]
En él, Cartier señala que, como hijo de un anarquista antimilitar y que creció entre los marginados, Grothendieck siempre tuvo una profunda compasión por los pobres y los oprimidos. Como dice Cartier, Grothendieck llegó a encontrar Bures-sur-Yvette " une cage dorée " ("una jaula dorada"). Mientras Grothendieck estaba en el IHÉS, la oposición a la guerra de Vietnam se estaba calentando, y Cartier sugiere que esto también reforzó el disgusto de Grothendieck por haberse convertido en un mandarín del mundo científico. [1] Además, después de varios años en el IHÉS, Grothendieck parecía buscar nuevos intereses intelectuales. A fines de la década de 1960, comenzó a interesarse en áreas científicas fuera de las matemáticas. David Ruelle , un físico que se incorporó a la facultad del IHÉS en 1964, dijo que Grothendieck fue a hablar con él algunas veces sobre física . [n 1] La biología interesó a Grothendieck mucho más que la física, y organizó algunos seminarios sobre temas biológicos. [39]
En 1970, Grothendieck, junto con otros dos matemáticos, Claude Chevalley y Pierre Samuel , crearon un grupo político llamado Survivre , cuyo nombre luego cambió a Survivre et vivre . El grupo publicó un boletín y se dedicó a temas antimilitares y ecológicos, y también desarrolló fuertes críticas al uso indiscriminado de la ciencia y la tecnología. [40] Grothendieck dedicó los siguientes tres años a este grupo y se desempeñó como editor principal de su boletín. [5]
Aunque Grothendieck continuó con investigaciones matemáticas, su carrera matemática estándar, en su mayor parte, terminó cuando dejó el IHÉS. [8] Después de dejar el IHÉS, Grothendieck se convirtió en profesor temporal en el Collège de France durante dos años. [40] Luego se convirtió en profesor en la Universidad de Montpellier, donde se alejó cada vez más de la comunidad matemática. Se retiró formalmente en 1988, pocos años después de haber aceptado un puesto de investigador en el CNRS . [5]
Manuscritos escritos en la década de 1980
Si bien no publicó investigaciones matemáticas de manera convencional durante la década de 1980, produjo varios manuscritos influyentes con distribución limitada, con contenido tanto matemático como biográfico.
Producido durante 1980 y 1981, La Longue Marche à travers la théorie de Galois ( La larga marcha a través de la teoría de Galois ) es un manuscrito de 1600 páginas que contiene muchas de las ideas que llevaron al programa Esquisse d'un . [41] También incluye un estudio de la teoría de Teichmüller .
En 1983, estimulado por la correspondencia con Ronald Brown y Tim Porter en la Universidad de Bangor , Grothendieck escribió un manuscrito de 600 páginas titulado Pursuing Stacks , comenzando con una carta dirigida a Daniel Quillen . Esta carta y las sucesivas partes se distribuyeron desde Bangor (consulte los enlaces externos a continuación). Dentro de estos, de una manera informal, similar a un diario, Grothendieck explicó y desarrolló sus ideas sobre la relación entre la teoría de la homotopía algebraica y la geometría algebraica y las perspectivas de una teoría no conmutativa de pilas . El manuscrito, que está siendo editado para su publicación por G. Maltsiniotis, dio lugar más tarde a otra de sus obras monumentales, Les Dérivateurs . Escrita en 1991, esta última obra de unas 2000 páginas desarrolló aún más las ideas homotópicas iniciadas en Pursuing Stacks . [7] Gran parte de este trabajo anticipó el desarrollo posterior de la teoría de la homotopía motívica de Fabien Morel y Vladimir Voevodsky a mediados de la década de 1990.
En 1984, Grothendieck redactó la propuesta Esquisse d'un Program [41] ("Esquema de un programa") para un puesto en el Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS). Describe nuevas ideas para estudiar el espacio de módulos de curvas complejas. Aunque el propio Grothendieck nunca publicó su trabajo en esta área, la propuesta inspiró el trabajo de otros matemáticos al convertirse en la fuente de la teoría dessin d'enfant y la geometría anabeliana . Posteriormente se publicó en los dos volúmenes Geometric Galois Actions (Cambridge University Press, 1997).
Durante este período, Grothendieck también dio su consentimiento para publicar algunos de sus borradores para EGA sobre teoremas tipo Bertini ( EGA V, publicado en Ulam Quarterly en 1992-1993 y luego disponible en el sitio web Grothendieck Circle en 2004).
En el manuscrito autobiográfico de 1.000 páginas Récoltes et semailles (1986), Grothendieck describe su enfoque de las matemáticas y sus experiencias en la comunidad matemática, una comunidad que inicialmente lo aceptó de manera abierta y acogedora, pero que percibió progresivamente como gobernada por la competencia estado. Se queja de lo que vio como el "entierro" de su trabajo y la traición de sus antiguos alumnos y colegas después de que dejó la comunidad. [17] El trabajo de Récoltes et semailles ya está disponible en Internet en el original francés, [42] y se está realizando una traducción al inglés. Partes de Récoltes et semailles se han traducido al español [43] y al ruso y se han publicado en Moscú. [44]
En 1988 Grothendieck declinó el Premio Crafoord con una carta abierta a los medios. Escribió que los matemáticos establecidos como él no necesitaban apoyo financiero adicional y criticó lo que él veía como la ética en declive de la comunidad científica, caracterizada por el robo científico absoluto que, según él, se había convertido en un lugar común y tolerado. La carta también expresó su creencia de que eventos totalmente imprevistos antes del final del siglo conducirían a un colapso sin precedentes de la civilización. Grothendieck agregó, sin embargo, que sus puntos de vista "de ninguna manera pretenden ser una crítica de los objetivos de la Royal Academy en la administración de sus fondos" y agregó "Lamento los inconvenientes que mi negativa a aceptar el premio Crafoord puede haberles causado a usted y a la Royal Academy . " [45]
La Clef des Songes , un manuscrito de 315 páginas escrito en 1987, es el relato de Grothendieck de cómo su consideración de la fuente de los sueños lo llevó a concluir que Dios existe . [46] Como parte de las notas de este manuscrito, Grothendieck describió la vida y obra de 18 "mutantes", personas a las que admiraba como visionarios muy adelantados a su tiempo y presagiando una nueva era. [47] El único matemático en su lista era Bernhard Riemann . [48] Influenciado por la mística católica Marthe Robin, quien se decía que sobrevivía solo con la Sagrada Eucaristía, Grothendieck casi se muere de hambre en 1988. [5] Su creciente preocupación por los asuntos espirituales también era evidente en una carta titulada Lettre de la Bonne. Nouvelle envió a 250 amigos en enero de 1990. En él, describió sus encuentros con una deidad y anunció que una "Nueva Era" comenzaría el 14 de octubre de 1996. [7]
Más de 20.000 páginas de escritos matemáticos y de otro tipo de Grothendieck, que se encuentran en la Universidad de Montpellier, permanecen inéditas. [49] Se han digitalizado para su conservación y están disponibles gratuitamente en acceso abierto a través del portal del Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck. [50] [51]
Retiro a la reclusión y la muerte
En 1991, Grothendieck se mudó a una nueva dirección que no proporcionó a sus contactos anteriores en la comunidad matemática. [5] Muy pocas personas lo visitaron después. Los aldeanos locales ayudaron a mantenerlo con una dieta más variada después de que trató de vivir de un alimento básico de sopa de diente de león . [52] En algún momento, Leila Schneps y Pierre Lochak lo localizaron, luego mantuvieron una breve correspondencia. Así se convirtieron en "los últimos miembros del sistema matemático en entrar en contacto con él". [53] Después de su muerte, se reveló que vivía solo en una casa en Lasserre, Ariège , un pequeño pueblo al pie de los Pirineos . [54]
En enero de 2010, Grothendieck escribió la carta "Déclaration d'intention de non- publishing " a Luc Illusie , afirmando que todos los materiales publicados en su ausencia se han publicado sin su permiso. Pide que ninguna de sus obras se reproduzca total o parcialmente y que se retiren copias de esta obra de las bibliotecas. [55] Un sitio web dedicado a su trabajo fue llamado "una abominación". [56] Es posible que esta orden se haya revocado más adelante en 2010. [57]
El 13 de noviembre de 2014, a los 86 años, Grothendieck murió en el hospital de Saint-Girons, Ariège . [25] [58]
Ciudadanía
Grothendieck nació en la Alemania de Weimar . En 1938, a los diez años, se trasladó a Francia como refugiado. Los registros de su nacionalidad fueron destruidos en el otoño de Alemania en 1945 y no solicitó la ciudadanía francesa después de la guerra. Por lo tanto, se convirtió en un apátrida durante al menos la mayor parte de su vida laboral, viajando con un pasaporte Nansen . [3] [4] [2] Parte de esta renuencia a tener la nacionalidad francesa se atribuye a no querer servir en el ejército francés, particularmente debido a la Guerra de Argelia (1954-1962). [59] [1] [4] Finalmente solicitó la ciudadanía francesa a principios de la década de 1980, mucho más allá de la edad que lo eximía del servicio militar. [1]
Familia
Grothendieck era muy cercano a su madre a quien dedicó su disertación. Murió en 1957 de la tuberculosis que contrajo en los campos de desplazados. [40] Tuvo cinco hijos: un hijo con su casera durante su estancia en Nancy, [1] tres hijos, Johanna (1959), Alexander (1961) y Mathieu (1965) con su esposa Mireille Dufour, [60] [5 ] y un hijo con Justine Skalba, con quien vivió en una comuna a principios de la década de 1970. [5]
Trabajo matemático
El primer trabajo matemático de Grothendieck fue el análisis funcional . Entre 1949 y 1953 trabajó en su tesis doctoral sobre esta materia en Nancy , bajo la dirección de Jean Dieudonné y Laurent Schwartz . Sus contribuciones clave incluyen productos de tensores topológicos de espacios vectoriales topológicos , la teoría de los espacios nucleares como fundamento para las distribuciones de Schwartz y la aplicación de espacios L p en el estudio de mapas lineales entre espacios vectoriales topológicos. En pocos años, se había convertido en una autoridad líder en esta área de análisis funcional, en la medida en que Dieudonné compara su impacto en este campo con el de Banach . [61]
Sin embargo, es en la geometría algebraica y campos relacionados donde Grothendieck realizó su trabajo más importante e influyente. Desde aproximadamente 1955 comenzó a trabajar en la teoría de la gavilla y el álgebra homológica , produciendo el influyente " papel Tôhoku " ( Sur quelques points d'algèbre homologique , publicado en el Tohoku Mathematical Journal en 1957) donde introdujo categorías abelianas y aplicó su teoría para mostrar que la cohomología de la gavilla se puede definir como ciertos functores derivados en este contexto. [17]
Los métodos homológicos y la teoría de las gavillas ya habían sido introducidos en la geometría algebraica por Jean-Pierre Serre y otros, después de que Jean Leray definiera las gavillas . Grothendieck los llevó a un nivel superior de abstracción y los convirtió en un principio organizador clave de su teoría. Desvió la atención del estudio de variedades individuales al punto de vista relativo (pares de variedades relacionadas por un morfismo ), lo que permitió una amplia generalización de muchos teoremas clásicos. [40] La primera aplicación importante fue la versión relativa del teorema de Serre que muestra que la cohomología de una gavilla coherente en una variedad completa es de dimensión finita; El teorema de Grothendieck muestra que las imágenes directas superiores de haces coherentes bajo un mapa adecuado son coherentes; esto se reduce al teorema de Serre sobre un espacio de un punto.
En 1956, aplicó el mismo pensamiento al teorema de Riemann-Roch , que ya había sido generalizado recientemente a cualquier dimensión por Hirzebruch . El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch fue anunciado por Grothendieck en el Mathematische Arbeitstagung inicial en Bonn , en 1957. [40] Apareció impreso en un artículo escrito por Armand Borel con Serre. Este resultado fue su primer trabajo en geometría algebraica. Continuó planificando y ejecutando un programa para reconstruir los fundamentos de la geometría algebraica, que entonces estaban en un estado de cambio y en discusión en el seminario de Claude Chevalley ; resumió su programa en su charla en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1958 .
Su trabajo fundamental sobre geometría algebraica se encuentra en un nivel más alto de abstracción que todas las versiones anteriores. Adaptó el uso de puntos genéricos no cerrados , lo que llevó a la teoría de esquemas . También fue pionero en el uso sistemático de nilpotentes . Como 'funciones', estas pueden tomar solo el valor 0, pero llevan información infinitesimal , en configuraciones puramente algebraicas. Su teoría de esquemas se ha consolidado como la mejor base universal para este campo, tanto por su expresividad como por su profundidad técnica. En ese entorno, uno puede usar geometría biracional , técnicas de la teoría de números , la teoría de Galois y el álgebra conmutativa , y análogos cercanos de los métodos de topología algebraica , todo de una manera integrada. [17] [62] [63]
También se destaca por su dominio de los enfoques abstractos de las matemáticas y su perfeccionismo en cuestiones de formulación y presentación. [34] Relativamente poco de su trabajo después de 1960 fue publicado por la ruta convencional de la revista científica , circulando inicialmente en volúmenes duplicados de notas de seminario; su influencia fue en gran medida personal. Su influencia se extendió a muchas otras ramas de las matemáticas, por ejemplo, la teoría contemporánea de D-módulos . (También provocó reacciones adversas, con muchos matemáticos buscando áreas y problemas más concretos). [64] [65]
EGA , SGA , FGA
La mayor parte de la obra publicada de Grothendieck se recopila en los monumentales, aunque incompletos, Éléments de géométrie algébrique ( EGA ) y Séminaire de géométrie algébrique ( SGA ). La colección Fondements de la Géometrie Algébrique ( FGA ), que reúne las charlas impartidas en el Séminaire Bourbaki , también contiene material importante. [17]
El trabajo de Grothendieck incluye la invención de las teorías de la cohomología étale y l-ádica , que explican una observación de André Weil de que existe una conexión entre las características topológicas de una variedad y sus propiedades diofánticas (teóricas de números). [40] Por ejemplo, el número de soluciones de una ecuación sobre un campo finito refleja la naturaleza topológica de sus soluciones sobre los números complejos . Weil se dio cuenta de que para probar tal conexión se necesitaba una nueva teoría de la cohomología, pero ni él ni ningún otro experto vieron cómo hacerlo hasta que Grothendieck encontró tal teoría.
Este programa culminó con las demostraciones de las conjeturas de Weil , la última de las cuales fue resuelta por el alumno de Grothendieck, Pierre Deligne, a principios de la década de 1970, después de que Grothendieck se retirara en gran medida de las matemáticas. [17]
Major mathematical contributions
In Grothendieck's retrospective Récoltes et Semailles, he identified twelve of his contributions which he believed qualified as "great ideas".[66] In chronological order, they are:
- Topological tensor products and nuclear spaces.
- "Continuous" and "discrete" duality (derived categories, "six operations").
- Yoga of the Grothendieck–Riemann–Roch theorem (K-theory, relation with intersection theory).
- Schemes.
- Topoi.
- Étale cohomology and l-adic cohomology.
- Motives and the motivic Galois group (Grothendieck ⊗-categories).
- Crystals and crystalline cohomology, yoga of "de Rham coefficients", "Hodge coefficients", ...
- "Topological algebra": ∞-stacks, derivators; cohomological formalism of topoi as inspiration for a new homotopical algebra.
- Tame topology.
- Yoga of anabelian algebraic geometry, Galois–Teichmüller theory.
- "Schematic" or "arithmetic" point of view for regular polyhedra and regular configurations of all kinds.
Here the term yoga denotes a kind of "meta-theory" that can be used heuristically; Michel Raynaud writes the other terms "Ariadne's thread" and "philosophy" as effective equivalents.[67]
Grothendieck wrote that, of these themes, the largest in scope was topoi, as they synthesized algebraic geometry, topology, and arithmetic. The theme that had been most extensively developed was schemes, which were the framework "par excellence" for eight of the other themes (all but 1, 5, and 12). Grothendieck wrote that the first and last themes, topological tensor products and regular configurations, were of more modest size than the others. Topological tensor products had played the role of a tool rather than a source of inspiration for further developments; but he expected that regular configurations could not be exhausted within the lifetime of a mathematician who devoted himself to it. He believed that the deepest themes were motives, anabelian geometry, and Galois–Teichmüller theory.[68]
Influencia
Grothendieck is considered by many to be the greatest mathematician of the 20th century.[10] In an obituary David Mumford and John Tate wrote:
Although mathematics became more and more abstract and general throughout the 20th century, it was Alexander Grothendieck who was the greatest master of this trend. His unique skill was to eliminate all unnecessary hypotheses and burrow into an area so deeply that its inner patterns on the most abstract level revealed themselves–and then, like a magician, show how the solution of old problems fell out in straightforward ways now that their real nature had been revealed.[10]
By the 1970s, Grothendieck's work was seen as influential not only in algebraic geometry, and the allied fields of sheaf theory and homological algebra,[69] but influenced logic, in the field of categorical logic.[70]
Geometry
Grothendieck approached algebraic geometry by clarifying the foundations of the field, and by developing mathematical tools intended to prove a number of notable conjectures. Algebraic geometry has traditionally meant the understanding of geometric objects, such as algebraic curves and surfaces, through the study of the algebraic equations for those objects. Properties of algebraic equations are in turn studied using the techniques of ring theory. In this approach, the properties of a geometric object are related to the properties of an associated ring. The space (e.g., real, complex, or projective) in which the object is defined is extrinsic to the object, while the ring is intrinsic.
Grothendieck laid a new foundation for algebraic geometry by making intrinsic spaces ("spectra") and associated rings the primary objects of study. To that end he developed the theory of schemes, which can be informally thought of as topological spaces on which a commutative ring is associated to every open subset of the space. Schemes have become the basic objects of study for practitioners of modern algebraic geometry. Their use as a foundation allowed geometry to absorb technical advances from other fields.[71]
His generalization of the classical Riemann-Roch theorem related topological properties of complex algebraic curves to their algebraic structure. The tools he developed to prove this theorem started the study of algebraic and topological K-theory, which study the topological properties of objects by associating them with rings.[72] Topological K-theory was founded by Michael Atiyah and Friedrich Hirzebruch, after direct contact with Grothendieck's ideas at the Bonn Arbeitstagung.[73]
Cohomology theories
Grothendieck's construction of new cohomology theories, which use algebraic techniques to study topological objects, has influenced the development of algebraic number theory, algebraic topology, and representation theory. As part of this project, his creation of topos theory, a category-theoretic generalization of point-set topology, has influenced the fields of set theory and mathematical logic.[69]
The Weil conjectures were formulated in the later 1940s as a set of mathematical problems in arithmetic geometry. They describe properties of analytic invariants, called local zeta functions, of the number of points on an algebraic curve or variety of higher dimension. Grothendieck's discovery of the ℓ-adic étale cohomology, the first example of a Weil cohomology theory, opened the way for a proof of the Weil conjectures, ultimately completed in the 1970s by his student Pierre Deligne.[72] Grothendieck's large-scale approach has been called a "visionary program."[74] The ℓ-adic cohomology then became a fundamental tool for number theorists, with applications to the Langlands program.[75]
Grothendieck's conjectural theory of motives was intended to be the "ℓ-adic" theory but without the choice of "ℓ", a prime number. It did not provide the intended route to the Weil conjectures, but has been behind modern developments in algebraic K-theory, motivic homotopy theory, and motivic integration.[76] This theory, Daniel Quillen's work, and Grothendieck's theory of Chern classes, are considered the background to the theory of algebraic cobordism, another algebraic analogue of topological ideas.[77]
Category theory
Grothendieck's emphasis on the role of universal properties across varied mathematical structures brought category theory into the mainstream as an organizing principle for mathematics in general. Among its uses, category theory creates a common language for describing similar structures and techniques seen in many different mathematical systems.[78] His notion of abelian category is now the basic object of study in homological algebra.[79] The emergence of a separate mathematical discipline of category theory has been attributed to Grothendieck's influence, though unintentional.[80]
In popular culture
The novel Colonel Lágrimas (Colonel Tears in English, available by Restless Books) by Puerto Rican - Costa Rican writer Carlos Fonseca is a semibiographic novel about Grothendieck.[81]
Publicaciones
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Ver también
- Algebraic geometry – Branch of mathematics
- Homotopy hypothesis
- List of things named after Alexander Grothendieck – Wikipedia list article
- Sheaf cohomology
Notas
- ^ Ruelle invented the concept of a strange attractor in a dynamical system and, with the Dutch mathematician Floris Takens, produced a new model for turbulence during the 1970s.
Referencias
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enlaces externos
- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Alexander Grothendieck", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- Alexander Grothendieck at the Mathematics Genealogy Project
- Séminaire Grothendieck is a peripatetic seminar on Grothendieck view not just on mathematics
- Grothendieck Circle, collection of mathematical and biographical information, photos, links to his writings
- The origins of 'Pursuing Stacks': This is an account of how 'Pursuing Stacks' was written in response to a correspondence in English with Ronnie Brown and Tim Porter at Bangor, which continued until 1991. See also Alexander Grothendieck: some recollections.
- Récoltes et Semailles
- "Récoltes et Semailles" et "La Clef des Songes", French originals and Spanish translations
- English summary of "La Clef des Songes"
- Video of a lecture with photos from Grothendieck's life, given by Winfried Scharlau at IHES in 2009
- Can one explain schemes to biologists —biographical sketch of Grothendieck by David Mumford & John Tate
- Archives Grothendieck
- "Who Is Alexander Grothendieck?, Winfried Scharlau, Notices of the AMS 55(8), 2008.
- "Alexander Grothendieck: A Country Known Only by Name, Pierre Cartier, Notices of the AMS 62(4), 2015.
- Alexandre Grothendieck 1928–2014, Part 1, Notices of the AMS 63(3), 2016.
- A. Grothendieck by Mateo Carmona
- Les-archives-insaisissables-d-alexandre-grothendieck
- Kutateladze S.S. Rebelious Genius: In Memory of Alexander Grothendieck
- Alexandre-Grothendieck-une-mathematique-en-cathedrale-gothique
- Les-archives-insaisissables-d-alexandre-grothendieck