En álgebra lineal , una matriz de Hessenberg es un tipo especial de matriz cuadrada , una que es "casi" triangular . Para ser exactos, una matriz de Hessenberg superior tiene cero entradas debajo de la primera subdiagonal , y una matriz de Hessenberg inferior tiene cero entradas por encima de la primera superdiagonal . [1] Llevan el nombre de Karl Hessenberg . [2]
Definiciones
Matriz de Hessenberg superior
Un cuadrado matriz se dice que está en la forma de Hessenberg superior o que es una matriz de Hessenberg superior si para todos con .
Una matriz de Hessenberg superior se llama no reducida si todas las entradas subdiagonales son distintas de cero, es decir, si para todos . [3]
Matriz del Bajo Hessenberg
Un cuadrado matriz se dice que está en forma de Hessenberg inferior o que es una matriz de Hessenberg inferior si su transpuesta es una matriz de Hessenberg superior o equivalentemente si para todos con .
Una matriz de Hessenberg inferior se llama no reducida si todas las entradas superdiagonales son distintas de cero, es decir, si para todos .
Ejemplos de
Considere las siguientes matrices.
La matriz es una matriz de Hessenberg superior no reducida, es una matriz de Hessenberg inferior no reducida y es una matriz de Hessenberg inferior pero no sin reducir.
Programación de computadoras
Muchos algoritmos de álgebra lineal requieren un esfuerzo computacional significativamente menor cuando se aplican a matrices triangulares , y esta mejora a menudo se traslada también a las matrices de Hessenberg. Si las restricciones de un problema de álgebra lineal no permiten que una matriz general se reduzca convenientemente a una triangular, la reducción a la forma de Hessenberg suele ser la mejor opción. De hecho, la reducción de cualquier matriz a una forma de Hessenberg se puede lograr en un número finito de pasos (por ejemplo, mediante la transformación de Householder de las transformaciones de similitud unitaria). La reducción posterior de la matriz de Hessenberg a una matriz triangular se puede lograr mediante procedimientos iterativos, como la factorización QR desplazada . En los algoritmos de valores propios , la matriz de Hessenberg se puede reducir aún más a una matriz triangular mediante la factorización QR desplazada combinada con pasos de deflación. Reducir una matriz general a una matriz de Hessenberg y luego reducir más a una matriz triangular, en lugar de reducir directamente una matriz general a una matriz triangular, a menudo economiza la aritmética involucrada en el algoritmo QR para problemas de valores propios.
Propiedades
Para , es vacuo cierto que cadaLa matriz es tanto Hessenberg superior como Hessenberg inferior. [4]
El producto de una matriz de Hessenberg con una matriz triangular es nuevamente Hessenberg. Más precisamente, si es el alto Hessenberg y es triangular superior, entonces y son el alto Hesseberg.
Una matriz que es tanto Hessenberg superior como Hessenberg inferior es una matriz tridiagonal , de la cual las matrices Hessenberg simétricas o hermitianas son ejemplos importantes. Una matriz hermitiana se puede reducir a matrices simétricas reales tri-diagonales. [5]
Operador de Hessenberg
El operador de Hessenberg es una matriz de Hessenberg de dimensión infinita. Ocurre comúnmente como la generalización del operador de Jacobi a un sistema de polinomios ortogonales para el espacio de funciones holomórficas integrables en cuadrados sobre algún dominio, es decir, un espacio de Bergman . En este caso, el operador de Hessenberg es el operador de cambio a la derecha . , dada por
- .
Los valores propios de cada submatriz principal del operador de Hessenberg están dados por el polinomio característico de esa submatriz. Estos polinomios se denominan polinomios de Bergman y proporcionan una base polinomial ortogonal para el espacio de Bergman.
Ver también
Notas
- ^ Horn y Johnson (1985) , página 28; Stoer y Bulirsch (2002) , página 251
- ^ Biswa Nath Datta (2010) Álgebra lineal numérica y aplicaciones, 2ª ed., Sociedad de matemáticas industriales y aplicadas (SIAM) ISBN 978-0-89871-685-6 , p. 307
- ^ Horn y Johnson (1985) , página 35
- ^ https://www.cs.cornell.edu/~bindel/class/cs6210-f16/lec/2016-10-21.pdf
- ^ "Rutinas computacionales (valores propios) en LAPACK" . sites.science.oregonstate.edu . Consultado el 24 de mayo de 2020 .
Referencias
- Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985), Análisis de matrices , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
- Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introducción al análisis numérico (3.a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95452-3.
- Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 11.6.2. Reducción a la forma Hessenberg" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
enlaces externos
- Matriz de Hessenberg en MathWorld.
- Matriz de Hessenberg en PlanetMath .
- Algoritmos de alto rendimiento para la reducción a forma condensada (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal)