En estadística, los modelos de volatilidad estocástica son aquellos en los que la varianza de un proceso estocástico se distribuye al azar. [1] Se utilizan en el campo de las finanzas matemáticas para evaluar valores derivados , como opciones . El nombre deriva del tratamiento de los modelos de la volatilidad del valor subyacente como un proceso aleatorio , gobernado por variables de estado como el nivel de precio del valor subyacente, la tendencia de la volatilidad a volver a algún valor medio a largo plazo y la varianza. del propio proceso de volatilidad, entre otros.
Los modelos de volatilidad estocástica son un enfoque para resolver una deficiencia del modelo Black-Scholes . En particular, los modelos basados en Black-Scholes asumen que la volatilidad subyacente es constante durante la vida del derivado y no se ve afectada por los cambios en el nivel de precios del valor subyacente. Sin embargo, estos modelos no pueden explicar las características observadas durante mucho tiempo de la superficie de volatilidad implícita, como la sonrisa y el sesgo de la volatilidad , que indican que la volatilidad implícita tiende a variar con respecto al precio de ejercicio y al vencimiento. Suponiendo que la volatilidad del precio subyacente es un proceso estocástico en lugar de una constante, es posible modelar derivados con mayor precisión.
Modelo basica
Partiendo de un enfoque de volatilidad constante, suponga que el precio del activo subyacente del derivado sigue un modelo estándar para el movimiento browniano geométrico :
dónde es la deriva constante (es decir, el rendimiento esperado) del precio del valor , es la volatilidad constante, y es un proceso estándar de Wiener con media cero y tasa de variación unitaria . La solución explícita de esta ecuación diferencial estocástica es
El estimador de máxima verosimilitud para estimar la volatilidad constante para precios de acciones dados En Diferentes Momentos es
su valor esperado es
Este modelo básico con volatilidad constante es el punto de partida para los modelos de volatilidad no estocástica, como el modelo Black-Scholes y el modelo Cox-Ross-Rubinstein .
Para un modelo de volatilidad estocástica, reemplace la volatilidad constante con una función , que modela la varianza de . Esta función de varianza también se modela como movimiento browniano, y la forma de depende del modelo de SV particular que se esté estudiando.
dónde y son algunas funciones de , y es otro gaussiano estándar que se correlaciona con con factor de correlación constante .
Modelo Heston
El popular modelo de Heston es un modelo SV de uso común, en el que la aleatoriedad del proceso de varianza varía como la raíz cuadrada de la varianza. En este caso, la ecuación diferencial para la varianza toma la forma:
dónde es la varianza media a largo plazo, es la tasa a la que la varianza se revierte hacia su media a largo plazo, es la volatilidad del proceso de varianza, y es como , un gaussiano con media cero y diferencia. Sin emabargo, y están correlacionados con el valor de correlación constante.
En otras palabras, el modelo Heston SV asume que la varianza es un proceso aleatorio que
- exhibe una tendencia a revertir hacia una media a largo plazo a un paso ,
- exhibe una volatilidad proporcional a la raíz cuadrada de su nivel
- y cuya fuente de aleatoriedad está correlacionada (con correlación ) con la aleatoriedad de los procesos de precios del subyacente.
Algunas parametrizaciones de la superficie de volatilidad, como 'SVI', [2] se basan en el modelo de Heston.
Modelo CEV
El modelo CEV describe la relación entre volatilidad y precio, introduciendo volatilidad estocástica:
Conceptualmente, en algunos mercados la volatilidad aumenta cuando los precios suben (por ejemplo, las materias primas), por lo que . En otros mercados, la volatilidad tiende a aumentar a medida que caen los precios, modelada con.
Algunos argumentan que debido a que el modelo CEV no incorpora su propio proceso estocástico para la volatilidad, no es realmente un modelo de volatilidad estocástico. En cambio, lo llaman modelo de volatilidad local .
Modelo de volatilidad SABR
El modelo SABR (Stochastic Alpha, Beta, Rho), introducido por Hagan et al. [3] describe un solo delantero (relacionado con cualquier activo, por ejemplo, un índice, tasa de interés, bono, moneda o acciones) bajo volatilidad estocástica :
Los valores iniciales y son el precio a plazo y la volatilidad actuales, mientras que y son dos procesos de Wiener correlacionados (es decir, movimientos brownianos) con coeficiente de correlación . Los parámetros constantes son tales que .
La característica principal del modelo SABR es poder reproducir el efecto de sonrisa de la sonrisa de volatilidad .
Modelo GARCH
El modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada ( GARCH ) es otro modelo popular para estimar la volatilidad estocástica. Se asume que la aleatoriedad del proceso de varianza varía con la varianza, a diferencia de la raíz cuadrada de la varianza como en el modelo de Heston. El modelo GARCH (1,1) estándar tiene la siguiente forma para el diferencial de varianza:
El modelo GARCH se ha extendido a través de numerosas variantes, incluidas NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH, etc. Estrictamente, sin embargo, las volatilidades condicionales de los modelos GARCH no son estocásticas ya que en el momento t la volatilidad es completamente pre -determinado (determinista) dados los valores anteriores. [4]
Modelo 3/2
El modelo 3/2 es similar al modelo Heston, pero asume que la aleatoriedad del proceso de varianza varía con . La forma del diferencial de varianza es:
Sin embargo, el significado de los parámetros es diferente del modelo de Heston. En este modelo, tanto la reversión media como la volatilidad de los parámetros de varianza son cantidades estocásticas dadas por y respectivamente.
Calibración y estimación
Una vez que se elige un modelo SV en particular, se debe calibrar con los datos de mercado existentes. La calibración es el proceso de identificar el conjunto de parámetros del modelo que es más probable que se den los datos observados. Una técnica popular es utilizar la estimación de máxima verosimilitud (MLE). Por ejemplo, en el modelo Heston, el conjunto de parámetros del modelopuede estimarse aplicando un algoritmo MLE como el método Powell Directed Set [1] a las observaciones de los precios históricos de los valores subyacentes.
En este caso, comienza con una estimación de , calcular los errores residuales al aplicar los datos históricos de precios al modelo resultante y luego ajustar para intentar minimizar estos errores. Una vez que se ha realizado la calibración, es una práctica estándar volver a calibrar el modelo periódicamente.
Una alternativa a la calibración es la estimación estadística, teniendo en cuenta la incertidumbre de los parámetros. Se han propuesto e implementado muchos métodos frecuentistas y bayesianos, típicamente para un subconjunto de los modelos antes mencionados. La siguiente lista contiene paquetes de extensión para el software estadístico de código abierto R que se han diseñado específicamente para la estimación de heterocedasticidad. Los tres primeros se adaptan a modelos de tipo GARCH con volatilidades deterministas; el cuarto trata de la estimación de la volatilidad estocástica.
- rugarch : ARFIMA, in-mean, regresores externos y varios sabores GARCH, con métodos de ajuste, pronóstico, simulación, inferencia y trazado. [5]
- fGarch : Forma parte del entorno de Rmetrics para la docencia de "Ingeniería Financiera y Finanzas Computacionales".
- bayesGARCH : Estimación bayesiana del modelo GARCH (1,1) con innovaciones t de Student. [6]
- stochvol : algoritmos eficientes para la estimación completamente bayesiana de modelos de volatilidad estocástica (SV) a través de métodos de cadena de Markov Monte Carlo (MCMC). [7] [8]
Se han desarrollado muchos métodos numéricos a lo largo del tiempo y han resuelto la fijación de precios de activos financieros como opciones con modelos de volatilidad estocástica. Una aplicación desarrollada recientemente es el modelo de volatilidad estocástica local. [9] Este modelo de volatilidad estocástica local ofrece mejores resultados en la fijación de precios de nuevos activos financieros, como las opciones de divisas.
También hay bibliotecas alternativas de estimación estadística en otros lenguajes como Python:
- PyFlux Incluye soporte de inferencia clásica y bayesiana para los modelos GARCH y beta-t-EGARCH.
Ver también
- Modelo Black – Scholes
- Modelo Heston
- Volatilidad local
- Markov conmutación multifractal
- Medida neutral al riesgo
- Modelo de volatilidad SABR
- Salto de volatilidad estocástica
- Subordinadora
- Volatilidad
- Agrupación de volatilidad
- Volatilidad, incertidumbre, complejidad y ambigüedad
Referencias
- ^ Jim Gatheral (18 de septiembre de 2006). The Volatility Surface: A Practitioner's Guide . Wiley. ISBN 978-0-470-06825-0.
- ^ J Gatheral, A Jacquier (2014). "Superficies de volatilidad SVI libres de arbitraje". Finanzas cuantitativas . 14 . arXiv : 1204.0646 . doi : 10.1080 / 14697688.2013.819986 .
- ^ PS Hagan, D Kumar, A Lesniewski, DE Woodward (2002) Gestión del riesgo de la sonrisa , Wilmott, 84-108.
- ^ Brooks, Chris (2014). Econometría introductoria para las finanzas (3ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pag. 461. ISBN 9781107661455.
- ^ Ghalanos, Alexios. "rugarch: modelos GARCH univariantes" .
- ^ Ardia, David; Hoogerheide, Lennart F. (2010). "Estimación bayesiana del modelo GARCH (1,1) con innovaciones de Student-t" (PDF) . The R Journal . 2 (2): 41–47.
- ^ Kastner, Gregor (2016). "Manejo de la volatilidad estocástica en series de tiempo utilizando el paquete R stochvol" (PDF) . Revista de software estadístico . 69 (5): 1–30. doi : 10.18637 / jss.v069.i05 .
- ^ Kastner, Gregor; Frühwirth-Schnatter, Sylvia (2014). "Estrategia de entrelazado de ancillaridad-suficiencia (ASIS) para impulsar la estimación de MCMC de modelos de volatilidad estocástica" (PDF) . Estadística Computacional y Análisis de Datos . 79 : 408–423. arXiv : 1706.05280 . doi : 10.1016 / j.csda.2013.01.002 .
- ^ van der Weijst, Roel (2017). "Soluciones numéricas para el modelo de volatilidad local estocástico" . Cite journal requiere
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( ayuda )
Fuentes
- Análisis estocástico de volatilidad y varianza media [ enlace muerto permanente ] , Hyungsok Ahn, Paul Wilmott, (2006).
- Una solución de forma cerrada para opciones con volatilidad estocástica , SL Heston, (1993).
- Inside Volatility Arbitrage , Alireza Javaheri, (2005).
- Acelerando la calibración de modelos de volatilidad estocástica , Kilin, Fiodar (2006).