Modelo de Cox-Ingersoll-Ross

Tres trayectorias de los procesos CIR

En finanzas matemáticas , el modelo Cox-Ingersoll-Ross (CIR) describe la evolución de las tasas de interés . Es un tipo de "modelo de un factor" ( modelo de tasa corta ), ya que describe los movimientos de las tasas de interés como impulsados ​​por una sola fuente de riesgo de mercado . El modelo se puede utilizar en la valoración de derivados de tipos de interés . Fue introducido en 1985 por John C. Cox , Jonathan E. Ingersoll y Stephen A. Ross como una extensión del modelo Vasicek .

El modelo

Proceso CIR

El modelo CIR especifica que la tasa de interés instantánea sigue la ecuación diferencial estocástica , también llamada Proceso CIR:${\displaystyle r_{t}}$

${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW_{t}}$

donde es un proceso de Wiener (modelar el factor de riesgo de mercado al azar) y , y son los parámetros . El parámetro corresponde a la velocidad de ajuste a la media y a la volatilidad. El factor de deriva`` es exactamente el mismo que en el modelo de Vasicek. Asegura la reversión media de la tasa de interés hacia el valor de largo plazo , con la velocidad de ajuste regida por el parámetro estrictamente positivo .${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle a(b-r_{t})}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

El factor de desviación estándar`` evita la posibilidad de tipos de interés negativos para todos los valores positivos de y . También se excluye una tasa de interés de cero si la condición${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}\,}$

se cumple. De manera más general, cuando la tasa ( ) es cercana a cero, la desviación estándar ( ) también se vuelve muy pequeña, lo que amortigua el efecto de la perturbación aleatoria en la tasa. En consecuencia, cuando la tasa se acerca a cero, su evolución queda dominada por el factor de deriva, que empuja la tasa hacia arriba (hacia el equilibrio ).${\displaystyle r_{t}}$${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$

Este proceso se puede definir como una suma del proceso de Ornstein-Uhlenbeck al cuadrado . El CIR es un proceso ergódico y posee una distribución estacionaria. El mismo proceso se utiliza en el modelo de Heston para modelar la volatilidad estocástica.

Distribución

• Distribución futura

La distribución de valores futuros de un proceso CIR se puede calcular en forma cerrada:

${\displaystyle r_{t+T}={\frac {Y}{2c}},}$

donde , y Y es una distribución chi-cuadrado no central con grados de libertad y parámetro de no centralidad . Formalmente, la función de densidad de probabilidad es:${\displaystyle c={\frac {2a}{(1-e^{-aT})\sigma ^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {4ab}{\sigma ^{2}}}}$${\displaystyle 2cr_{t}e^{-aT}}$

${\displaystyle f(r_{t+T};r_{t},a,b,\sigma )=c\,e^{-u-v}\left({\frac {v}{u}}\right)^{q/2}I_{q}(2{\sqrt {uv}}),}$

donde , , , y es una función de Bessel modificada de primera especie de orden .${\displaystyle q={\frac {2ab}{\sigma ^{2}}}-1}$${\displaystyle u=cr_{t}e^{-aT}}$${\displaystyle v=cr_{t+T}}$${\displaystyle I_{q}(2{\sqrt {uv}})}$${\displaystyle q}$

• Distribución asintótica

Debido a la reversión de la media, a medida que aumenta el tiempo, la distribución de se acercará a una distribución gamma con la densidad de probabilidad de:${\displaystyle r_{\infty }}$

${\displaystyle f(r_{\infty };a,b,\sigma )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}r_{\infty }^{\alpha -1}e^{-\beta r_{\infty }},}$

donde y .${\displaystyle \beta =2a/\sigma ^{2}}$${\displaystyle \alpha =2ab/\sigma ^{2}}$

Derivación de la distribución asintótica

Para derivar la distribución asintótica del modelo CIR, debemos usar la ecuación de Fokker-Planck :${\displaystyle p_{\infty }}$ ${\displaystyle {\partial p \over {\partial t}}+{\partial \over {\partial r}}[a(b-r)p]={1 \over {2}}\sigma ^{2}{\partial ^{2} \over {\partial r^{2}}}(rp)}$ Nuestro interés está en el caso particular cuando , lo que conduce a la ecuación simplificada:${\displaystyle \partial _{t}p\rightarrow 0}$ ${\displaystyle a(b-r)p_{\infty }={1 \over {2}}\sigma ^{2}\left(p_{\infty }+r{dp_{\infty } \over {dr}}\right)}$ Definir y reorganizar términos conduce a la ecuación:${\displaystyle \alpha =2ab/\sigma ^{2}}$${\displaystyle \beta =2a/\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle {\alpha -1 \over {r}}-\beta ={d \over {dr}}\log p_{\infty }}$ Integrar nos muestra que: ${\displaystyle p_{\infty }\propto r^{\alpha -1}e^{-\beta r}}$ En el rango , esta densidad describe una distribución gamma. Por lo tanto, la distribución asintótica del modelo CIR es una distribución gamma.${\displaystyle p_{\infty }\in (0,\infty ]}$

Propiedades

• Reversión media ,
• Volatilidad dependiente del nivel ( ),${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$
• Para dado positivo, el proceso nunca tocará cero, si ; de lo contrario, ocasionalmente puede tocar el punto cero,${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})}$, por lo que la media a largo plazo es ,${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \operatorname {Var} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}{\frac {\sigma ^{2}}{a}}(e^{-at}-e^{-2at})+{\frac {b\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-at})^{2}.}$

Calibración

• Mínimos cuadrados ordinarios

El SDE continuo se puede discretizar de la siguiente manera

${\displaystyle r_{t+\Delta t}-r_{t}=a(b-r_{t})\,\Delta t+\sigma \,{\sqrt {r_{t}\Delta t}}\varepsilon _{t},}$

que es equivalente a

${\displaystyle {\frac {r_{t+\Delta t}-r_{t}}{{\sqrt {r}}_{t}}}={\frac {ab\Delta t}{{\sqrt {r}}_{t}}}-a{\sqrt {r}}_{t}\Delta t+\sigma \,{\sqrt {\Delta t}}\varepsilon _{t},}$

proporcionado es niid (0,1). Esta ecuación se puede utilizar para una regresión lineal.${\displaystyle \varepsilon _{t}}$

• Estimación martingala
• Máxima verosimilitud

Simulación

La simulación estocástica del proceso CIR se puede lograr utilizando dos variantes:

• Discretización
• Exacto

Precios de bonos

Bajo el supuesto de no arbitraje, se puede fijar el precio de un bono utilizando este proceso de tasa de interés. El precio del bono es exponencial afín en la tasa de interés:

${\displaystyle P(t,T)=A(t,T)\exp(-B(t,T)r_{t})\!}$

dónde

${\displaystyle A(t,T)=\left({\frac {2h\exp((a+h)(T-t)/2)}{2h+(a+h)(\exp((T-t)h)-1)}}\right)^{2ab/\sigma ^{2}}}$

${\displaystyle B(t,T)={\frac {2(\exp((T-t)h)-1)}{2h+(a+h)(\exp((T-t)h)-1)}}}$

${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}+2\sigma ^{2}}}}$

Extensiones

Un proceso CIR es un caso especial de difusión de salto afín básico , que aún permite una expresión de forma cerrada para los precios de los bonos. Se pueden introducir en el modelo funciones variables en el tiempo que reemplacen a los coeficientes para que sea coherente con una estructura temporal preasignada de tipos de interés y posiblemente volatilidades. El enfoque más general se encuentra en Maghsoodi (1996). Un enfoque más manejable es el de Brigo y Mercurio (2001b) donde se agrega al modelo un cambio externo dependiente del tiempo para mantener la coherencia con una estructura de términos de entrada de tarifas. Lin Chen (1996) da una extensión significativa del modelo CIR al caso de la media estocástica y la volatilidad estocástica y se conoce como modelo de Chen.. Una extensión más reciente para manejar la volatilidad del clúster, las tasas de interés negativas y las diferentes distribuciones es el llamado CIR # de Orlando, Mininni y Bufalo (2018, ^[1] 2019, ^{[2] [3]} 2020, ^[4] 2021 ^{[5 ]} ) y Di Francesco y Kamm (2021, ^[6] inédito) propusieron una extensión más simple limitada a tipos de interés no negativos .

Ver también

• Modelo Hull-White
• Modelo Vasicek
• Modelo Chen

Referencias

1. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (2018). "Un nuevo enfoque para el modelado de tasas a corto plazo del CIR". Nuevos métodos en la modelización de la renta fija . Contribuciones a la ciencia de la gestión. Springer International Publishing: 35–43. doi : 10.1007 / 978-3-319-95285-7_2 . ISBN 978-3-319-95284-0.
2. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (1 de enero de 2019). "Un nuevo enfoque para pronosticar los tipos de interés del mercado a través del modelo CIR". Estudios en Economía y Finanzas . antes de impresión (antes de impresión): 267–292. doi : 10.1108 / SEF-03-2019-0116 . ISSN 1086-7376 . 
3. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (19 de agosto de 2019). "Calibración de tipos de interés con un modelo CIR". La Revista de Financiamiento de Riesgos . 20 (4): 370–387. doi : 10.1108 / JRF-05-2019-0080 . ISSN 1526-5943 . 
4. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (julio de 2020). "Pronóstico de tipos de interés a través de modelos Vasicek y CIR: un enfoque de partición" . Journal of Forecasting . 39 (4): 569–579. doi : 10.1002 / para.2642 . ISSN 0277-6693 . 
5. Orlando, Giuseppe; Bufalo, Michele (26 de mayo de 2021). "Previsión de tipos de interés: entre Hull y White y el CIR #: cómo hacer que un modelo de factor único funcione" . Journal of Forecasting : for.2783. doi : 10.1002 / para.2783 . ISSN 0277-6693 . 
6. Di Francesco, Marco; Kamm, Kevin (7 de junio de 2021). "Cómo manejar tipos de interés negativos en un marco CIR" . arXiv : 2106.03716 .

Referencias adicionales

• Hull, John C. (2003). Opciones, futuros y otros derivados . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . ISBN 0-13-009056-5.
• Cox, JC, JE Ingersoll y SA Ross (1985). "Una teoría de la estructura temporal de las tasas de interés". Econometrica . 53 (2): 385–407. doi : 10.2307 / 1911242 . JSTOR  1911242 .
• Maghsoodi, Y. (1996). "Solución de la Estructura de Plazos del CIR extendido y Valoración de la Opción de Bonos". Finanzas matemáticas . 6 (6): 89–109. doi : 10.1111 / j.1467-9965.1996.tb00113.x .
• Damiano Brigo; Fabio Mercurio (2001). Modelos de tasas de interés: teoría y práctica con sonrisa, inflación y crédito (2ª ed. 2006 ed.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Brigo, Damiano; Fabio Mercurio (2001b). "Una extensión de cambio determinista de modelos de tasa corta analíticamente manejables y homogéneos en el tiempo" . Finanzas y estocásticos . 5 (3): 369–388. doi : 10.1007 / PL00013541 . S2CID  35316609 .
• Biblioteca de código abierto que implementa el proceso CIR en python
• Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (2020). "Pronóstico de tipos de interés a través de modelos Vasicek y CIR: un enfoque de partición". Journal of Forecasting . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . doi : 10.1002 / para.2642 . ISSN  1099-131X . S2CID  126507446 .