En finanzas matemáticas , el modelo SABR es un modelo de volatilidad estocástica , que intenta capturar la sonrisa de volatilidad en los mercados de derivados. El nombre significa " estocástico alfa , beta , rho ", refiriéndose a los parámetros del modelo. El modelo SABR es ampliamente utilizado por los profesionales de la industria financiera, especialmente en los mercados de derivados de tipos de interés . Fue desarrollado por Patrick S. Hagan, Deep Kumar, Andrew Lesniewski y Diana Woodward. [1]
Dinámica
El modelo SABR describe un solo reenvío, como una tasa a plazo LIBOR , una tasa de swap a plazo o un precio de acciones a plazo. Este es uno de los estándares del mercado que utilizan los participantes del mercado para cotizar volatilidades. La volatilidad del forward se describe mediante un parámetro . SABR es un modelo dinámico en el que tanto y están representados por variables de estado estocásticas cuya evolución temporal viene dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas :
con los valores de tiempo cero prescritos (actualmente observados) y . Aquí, y son dos procesos de Wiener correlacionados con coeficiente de correlación:
Los parámetros constantes satisfacer las condiciones . es un parámetro similar a la volatilidad para la volatilidad. es la correlación instantánea entre el subyacente y su volatilidad. así controla la altura del nivel de volatilidad implícita del ATM. La correlación controla la pendiente del sesgo implícito y controla su curvatura.
La dinámica anterior es una versión estocástica del modelo CEV con el parámetro de asimetría: de hecho, se reduce al modelo CEV si El parámetro a menudo se denomina volvol , y su significado es el de la volatilidad logarítmica normal del parámetro de volatilidad.
Solución asintótica
Consideramos una opción europea (digamos, una llamada) en el futuro golpear a , que expira años a partir de ahora. El valor de esta opción es igual al valor esperado adecuadamente descontado del pago. bajo la distribución de probabilidad del proceso .
Salvo los casos especiales de y , no se conoce ninguna expresión de forma cerrada para esta distribución de probabilidad. El caso general se puede resolver aproximadamente mediante una expansión asintótica en el parámetro. En las condiciones típicas del mercado, este parámetro es pequeño y la solución aproximada es bastante precisa. También de manera significativa, esta solución tiene una forma funcional bastante simple, es muy fácil de implementar en código informático y se presta bien a la gestión de riesgos de grandes carteras de opciones en tiempo real.
Es conveniente expresar la solución en términos de volatilidad implícita de la opción. Es decir, forzamos el precio del modelo SABR de la opción en la forma de la fórmula de valoración del modelo Black . Entonces, la volatilidad implícita, que es el valor del parámetro de volatilidad logarítmica normal en el modelo de Black que lo obliga a igualar el precio SABR, está aproximadamente dada por:
donde, para mayor claridad, hemos establecido . El valor denota un punto medio convenientemente elegido entre y (como el promedio geométrico o la media aritmética ). También hemos establecido
y
La función ingresar la fórmula anterior viene dada por
Alternativamente, se puede expresar el precio SABR en términos del modelo de Bachelier . Entonces la volatilidad normal implícita se puede calcular asintóticamente mediante la siguiente expresión:
Vale la pena señalar que la volatilidad implícita normal de SABR es generalmente algo más precisa que la volatilidad implícita logarítmica normal.
SABR para las tasas negativas
Una extensión del modelo SABR para tipos de interés negativos que ha ganado popularidad en los últimos años es el modelo SABR modificado, en el que se supone que el tipo de cambio a plazo sigue un proceso SABR.
para un cambio positivo . Dado que los cambios se incluyen en las cotizaciones del mercado, y existe un límite intuitivo suave sobre cómo las tasas negativas pueden volverse, el SABR modificado se ha convertido en la mejor práctica del mercado para adaptarse a las tasas negativas.
El modelo SABR también se puede modificar para cubrir las tasas de interés negativas mediante:
por y una condición de contorno libre para. Están disponibles su solución exacta para la correlación cero, así como una aproximación eficiente para un caso general. [2]
Un inconveniente obvio de este enfoque es la suposición a priori de tipos de interés potenciales altamente negativos a través de la frontera libre.
Problema de arbitraje en la fórmula de volatilidad implícita
Aunque la solución asintótica es muy fácil de implementar, la densidad que implica la aproximación no siempre está libre de arbitraje, especialmente no para strikes muy bajos (se vuelve negativa o la densidad no se integra a uno).
Una posibilidad de "arreglar" la fórmula es utilizar el método de colocación estocástica y proyectar el correspondiente modelo implícito, mal planteado, en un polinomio de una variable libre de arbitraje, por ejemplo, normal. Esto garantizará la igualdad de probabilidad en los puntos de colocación mientras que la densidad generada está libre de arbitraje. [3] Utilizando el método de proyección, los precios de las opciones europeas analíticas están disponibles y las volatilidades implícitas se mantienen muy próximas a las obtenidas inicialmente mediante la fórmula asintótica.
Otra posibilidad es confiar en un solucionador de PDE rápido y robusto en una expansión equivalente de la PDE directa, que conserva numéricamente el momento cero y el primer momento, garantizando así la ausencia de arbitraje. [4]
Extensiones
El modelo SABR se puede ampliar asumiendo que sus parámetros dependen del tiempo. Sin embargo, esto complica el procedimiento de calibración. Un método de calibración avanzado del modelo SABR dependiente del tiempo se basa en los llamados "parámetros efectivos". [5]
Simulación
Como el proceso de volatilidad estocástica sigue un movimiento browniano geométrico , su simulación exacta es sencilla. Sin embargo, la simulación del proceso de activos futuros no es una tarea trivial. Por lo general, se consideran esquemas de simulación basados en Taylor, como Euler-Maruyama o Milstein . Recientemente, se han propuesto métodos novedosos para la simulación Monte Carlo casi exacta del modelo SABR. [6] Recientemente se han considerado estudios extensos para el modelo SABR en Cui et al. [7] Para el modelo SABR normal ( sin condición de límite en ), se conoce un método de simulación de forma cerrada. [8]
Ver también
Referencias
- ^ PS Hagan, D Kumar, A Lesniewski, DE Woodward (2002) Gestión del riesgo de la sonrisa , Wilmott, 84-108.
- ↑ Antonov, Alexandre; Konikov, Michael; Spector, Michael (28 de enero de 2015). "El límite libre SABR: extensión natural a tasas negativas". SSRN 2557046 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Grzelak, Lech; Oosterlee, Kees (2016). "Del arbitraje a las volatilidades implícitas libres de arbitraje". Revista de Finanzas Computacionales . 20 (3): 1–19. SSRN 2529684 .
- ^ Le Floc'h, Fabien; Kennedy, Gary (2016). "Técnicas de diferencias finitas para SABR sin arbitraje" . Revista de Finanzas Computacionales .
- ^ Van der Stoep, AW; Grzelak, LA; Oosterlee, CW (2015). "El modelo FX-SABR dependiente del tiempo: calibración eficiente basada en parámetros efectivos". Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas . 18 (6): 1550042. doi : 10.1142 / S0219024915500429 . SSRN 2503891 .
- ^ Leitao, A .; Grzelak, LA; Oosterlee, CW (2017). "En una eficiente simulación de Monte Carlo de múltiples pasos en el tiempo del modelo SABR" . Finanzas cuantitativas . 17 (10): 1549-1565. doi : 10.1080 / 14697688.2017.1301676 . SSRN 2764908 .
- ^ Cui, Z .; Kirkby, JL; Nguyen, D. (2018). "Un marco de valoración general para SABR y modelos de volatilidad local estocástica" . Revista SIAM de Matemática Financiera . 9 (2): 520–563. doi : 10.1137 / 16M1106572 . S2CID 207074154 .
- ^ Choi, J; Liu, C; Seo, BK (2019). "Modelo de volatilidad estocástico normal hiperbólico". Revista de mercados de futuros . 39 (2): 186-204. arXiv : 1809.04035 . doi : 10.1002 / fut.21967 . S2CID 158662660 . SSRN 3068836 .
enlaces externos
- Manejo del riesgo de sonrisas, P. Hagan et al. - El artículo original que presenta el modelo SABR.
- Distribución de probabilidad en el modelo SABR de volatilidad estocástica, P. Hagan et al. - Introdujo el modelo SABR normal, la expansión del núcleo de calor y la distribución de probabilidad asintótica.
- Cobertura según el modelo SABR, B. Bartlett - Gestión de riesgos refinada según el modelo SABR.
- Modelo de mercado LIBOR con volatilidad estocástica estilo SABR, P. Hagan y A. Lesniewski - Extensión LMM de SABR para modelado de estructura temporal.
- SABR libre de arbitraje, P. Hagan et al. - Tratamiento refinado de los forwards cercanos a cero.
- Obloj, enero (2007). "Ajuste fino de su sonrisa - Corrección de Hagan et al". arXiv : 0708.0998 [ q-fin.CP ].
- Un resumen de los enfoques del modelo SABR para derivados de renta variable smile
- Henry-Labordere, Pierre (2006). "Unificando los modelos BGM y SABR: un paseo corto en geometría hiperbólica". arXiv : física / 0602102 .
- Aproximaciones asintóticas a modelos CEV y SABR
- Pruebe SABR (con calibración) en línea
- Calibración SABR
- Análisis avanzado para el modelo SABR : incluye la fórmula exacta para el caso de correlación cero
- Expansión de volatilidad implícita de pequeña huelga en el modelo SABR - Fórmula asintótica libre de arbitraje para pequeñas huelgas y para opciones a largo plazo