Teorema de pascal
En geometría proyectiva , el teorema de Pascal (también conocido como el teorema del hexagrammum mysticum ) establece que si se eligen seis puntos arbitrarios en una cónica (que puede ser una elipse , parábola o hipérbola en un plano afín apropiado ) y se unen por segmentos de línea en cualquier orden Para formar un hexágono , entonces los tres pares de lados opuestos del hexágono ( extendidos si es necesario) se encuentran en tres puntos que se encuentran en una línea recta, llamada línea Pascal del hexágono. Lleva el nombre de Blaise Pascal .
El teorema también es válido en el plano euclidiano , pero el enunciado debe ajustarse para tratar los casos especiales en los que los lados opuestos son paralelos.
El escenario más natural para el teorema de Pascal es en un plano proyectivo, ya que dos líneas cualesquiera se encuentran y no es necesario hacer excepciones para las líneas paralelas. Sin embargo, el teorema sigue siendo válido en el plano euclidiano, con la interpretación correcta de lo que sucede cuando algunos lados opuestos del hexágono son paralelos.
Si exactamente un par de lados opuestos del hexágono son paralelos, entonces la conclusión del teorema es que la "línea de Pascal" determinada por los dos puntos de intersección es paralela a los lados paralelos del hexágono. Si dos pares de lados opuestos son paralelos, entonces los tres pares de lados opuestos forman pares de líneas paralelas y no hay línea de Pascal en el plano euclidiano (en este caso, la línea en el infinito del plano euclidiano extendido es la línea de Pascal de el hexágono).
Este teorema es una generalización del teorema de Pappus (hexágono): el teorema de Pappus es el caso especial de una cónica degenerada de dos líneas. El teorema de Pascal es el dual polar recíproco y proyectivo del teorema de Brianchon . Fue formulado por Blaise Pascal en una nota escrita en 1639 cuando tenía 16 años y publicada al año siguiente como una andanada titulada "Essay pour les coniques. Par BP" [1]
Es interesante un caso degenerado del teorema de Pascal (cuatro puntos); dados los puntos ABCD en una cónica Γ , la intersección de lados alternos, AB ∩ CD , BC ∩ DA , junto con la intersección de tangentes en vértices opuestos ( A , C ) y ( B , D ) son colineales en cuatro puntos; las tangentes son 'lados' degenerados, tomados en dos posiciones posibles en el 'hexágono' y la línea Pascal correspondiente que comparte cualquier intersección degenerada. Esto se puede probar de forma independiente utilizando una propiedad de polo-polar.. Si la cónica es un círculo, entonces otro caso degenerado dice que para un triángulo, los tres puntos que aparecen como la intersección de una línea lateral con la línea lateral correspondiente del triángulo de Gergonne , son colineales.
