Hexomino
Un hexomino (o 6-omino ) es un poliomino de orden 6, es decir, un polígono en el plano formado por 6 cuadrados de igual tamaño conectados de borde a borde. [1] El nombre de este tipo de figura se forma con el prefijo hex (a) - . Cuando las rotaciones y reflexiones no se consideran formas distintas, hay 35 hexominós libres diferentes . Cuando los reflejos se consideran distintos, hay 60 hexominós de un solo lado . Cuando las rotaciones también se consideran distintas, hay 216 fijoshexominós. [2] [3]
La figura anterior muestra los 35 posibles hexominós libres, coloreados según sus grupos de simetría :
Si los reflejos de un hexominós se consideran distintos, como lo son con los hexominós de un solo lado, entonces la primera y cuarta categorías anteriores duplicarían su tamaño, lo que daría como resultado 25 hexominós adicionales para un total de 60. Si las rotaciones también se consideran distintas, luego, los hexominós de la primera categoría cuentan ocho veces, los de las siguientes tres categorías cuentan cuatro veces y los de la última categoría cuentan dos veces. Esto da como resultado 20 × 8 + (6 + 2 + 5) × 4 + 2 × 2 = 216 hexominós fijos.
Cada uno de los 35 hexominós satisface el criterio de Conway ; de ahí que cada hexomino sea capaz de embaldosar el avión. [4]
Aunque un juego completo de 35 hexominós tiene un total de 210 cuadrados, no es posible empaquetarlos en un rectángulo . (Tal disposición es posible con los 12 pentominós que se pueden empaquetar en cualquiera de los rectángulos 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 y 6 × 10.) Una forma sencilla de demostrar que tal empaquetamiento de hexominós no es posible es a través de un argumento de paridad . Si los hexominós se colocan en un patrón de tablero de ajedrez , entonces 11 de los hexominós cubrirán un número par de cuadrados negros (2 blancos y 4 negros o viceversa) y los otros 24 hexominós cubrirán un número impar.de cuadrados negros (3 blancos y 3 negros). En general, se cubrirá un número par de cuadrados negros en cualquier disposición. Sin embargo, cualquier rectángulo de 210 cuadrados tendrá 105 cuadrados negros y 105 cuadrados blancos y, por lo tanto, no puede ser cubierto por los 35 hexominós.
Sin embargo, hay otras figuras simples de 210 cuadrados que se pueden empaquetar con los hexominós. Por ejemplo, un cuadrado de 15 × 15 con un rectángulo de 3 × 5 eliminado del centro tiene 210 cuadrados. Con el color de tablero de ajedrez, tiene 106 cuadrados blancos y 104 negros (o viceversa), por lo que la paridad no impide un empaque, y un empaque es realmente posible. [5] También es posible que dos juegos de piezas quepan en un rectángulo de tamaño 420, o que el juego de 60 hexominós de un solo lado (18 de los cuales cubren un número par de cuadrados negros) quepan en un rectángulo de tamaño 360. [6]
